Question

如圖：AB是半圓的直徑，∠ABC的平分線交半圓于D，AD和BC的延長線交于圓外一點E，連結(jié)CD．
（1）求證：△EDC是等腰三角形．
（2）若AB=5，BC=3，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理由AB是半圓的直徑得∠ADB=∠ACB=90°，加上∠ABC的平分線交半圓于D，根據(jù)等腰三角形的判定得BA=BE，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD=ED，即可得到CD為直角三角形ACE斜邊上的中線，所以CD=DE=AD，因此可判斷△EDC是等腰三角形；
（2）先利用BA=BE=5得到CE=EB-CB=2，利用勾股定理，在Rt△ACE中計算出AE=2

5

，在Rt△ABC中計算出AC=4，利用三角形面積公式得到S_△ABE=

1

2

AC•BE=10，再證明△ECD∽△EAB，利用相似的性質(zhì)求出S_△ECD=2，然后利用四邊形ABCD的面積=S_△ABE-S_△ECD進行計算．．

解答：（1）證明：∵AB是半圓的直徑，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵∠ABC的平分線交半圓于D，
∴BA=BE，
∴AD=ED，
∴CD為直角三角形ACE斜邊上的中線，
∴CD=DE=AD，
∴△EDC是等腰三角形；
（2）解：∵BA=BE=5，
∴CE=EB-CB=2，
在Rt△ACE中，AE=

AC2+CE2

=2

5

，
在Rt△ABC中，AC=

AB2-BC2

=4，
∴S_△ABE=

1

2

AC•BE=

1

2

×4×5=10，
∵∠EDC=∠EBA，
而∠DEC=∠BEA，
∴△ECD∽△EAB，
∴

S△ECD

S△EAB

=（

EC

EA

）²，即S_△ECD=10×（

2

2 5

）²=2，
∴四邊形ABCD的面積=S_△ABE-S_△ECD=10-2=8．

點評：本題考查了圓周角定理：圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．