Question

【題目】你能化簡(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x＋1）嗎？遇到這樣的問題，我們可以先從簡單的情形入手：

分別計算下列各式的值：

①(x－1)(x＋1)＝x2－1；

②(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；

③(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1；…

由此我們可以得到：(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x＋1）＝________________；

請你利用上面的結論，完成下面三題的計算：

⑴299＋298＋297＋…＋2＋1；

⑵(－2)50＋(－2)49＋(－2)48＋…＋(－2)＋1

⑶已知，求的值．

Answer 1

【答案】x100﹣1；（1）2100﹣1；（2） ;（3）1.

【解析】試題分析：根據(jù)所給出的式子找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律得出答案；(1)、在式子的前面添加(2－1)，從而根據(jù)規(guī)律得出答案；(2)、在等式的前面添加×(﹣2﹣1)，然后利用簡便方法進行計算得出答案；(3)、根據(jù)題意得出（x﹣1）（x3+x2+x+1）=0，即x4﹣1=0，從而求出x的值，然后代入進行計算得出答案．

試題解析：觀察所給等式可得（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100﹣1，

(1)、299+298+297+…+2+1=（2﹣1）（299+298+297+…+2+1）=2100﹣1；

(2)、∵原式=×(﹣2﹣1)[+(﹣2)50+(﹣2)49+…+(﹣2)+1]= ×[ (﹣2)51﹣1]= ，

(3)、∵x3+x2+x+1=0， ∴（x﹣1）（x3+x2+x+1）=0，即x4﹣1=0，

解得：x=1（不合題意，舍去）或x=﹣1，

則x2008=（﹣1）2008=1．