Question

14．如圖，在Rt△ABC中．∠ACB=90°，∠B=30°，CB=3$\sqrt{3}$，點D是平面上一點且CD=2，點P為線段AB上一動點．當△ABC繞點C任意旋轉(zhuǎn)時，在旋轉(zhuǎn)過程中線段DP長度的最大值為2+3$\sqrt{3}$，最小值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-2．

Answer 1

分析 作CM⊥AB于M，由已知條件得出AC=3，AB=2AC=6，由三角形的面積求出CM，由AC＜BC，當點D在BC延長線上，P與B重合時，得出DP最大長度=CD+BC；當P與M重合，旋轉(zhuǎn)過程中D在CM上時，得出DP最小值=CM-CD即可．

解答 解：作CM⊥AB于M，如圖所示：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，CB=3$\sqrt{3}$，
∴AC=3，AB=2AC=6，
∴CM=$\frac{AC×BC}{AB}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵AC＜BC，當點D在BC延長線上，P與B重合時，
DP最大長度=CD+BC=2+3$\sqrt{3}$；
當P與M重合，旋轉(zhuǎn)過程中D在CM上時，DP最小值=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-2．
故答案為：2+3$\sqrt{3}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-2．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、三角形面積的計算方法；本題有一定難度，得出旋轉(zhuǎn)過程中線段DP長度的最大值與最小值是解決問題的關(guān)鍵．