Question

6．如圖，△DAE，△CBE中，∠DAE=∠CBE=90°，∠DEA=∠CEB=60°，點(diǎn)F為線段CD的中點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，判斷△ABF的形狀，并加以證明；
（2）如圖2，當(dāng)A，E，B三點(diǎn)不共線時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？如果不成立，請(qǐng)說明理由，如果成立，請(qǐng)加以證明．

Answer 1

分析 （1）△ABF是等邊三角形，先證明△ADF≌△GCF，再由△ADE∽△BCE得$\frac{EB}{AE}$=$\frac{BC}{AD}$=$\frac{BC}{CG}$，得CE∥AG，由此即可證明．
（2）結(jié)論不變，延長(zhǎng)AF到G使得FG=AF，連接BG、AB，由△GCB∽△AEB，∠GBC=∠ABE，$\frac{AB}{BG}$=$\frac{EB}{BC}$得∠ABG=∠EBC=90°，再證明△ABG∽△EBC即可解決問題．

解答 （1）結(jié)論：△ABF是等邊三角形．
證明：如圖延長(zhǎng)AF、BC交于點(diǎn)G．
∵∠DAE=∠CBE=90°，
∴∠DAE+∠CBE=180°，
∴AD∥BG，
∴∠ADF=∠GCF，
在△ADF和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠GCF}\\{∠DFC=∠GFC}\\{DF=FC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF，
∴AF=FG，AD=CG，
∵∠ABG=90°，
∴FB=AF=FG，
∵∠DAE=∠CBE，∠DEA=∠CEB=60°，
∴△ADE∽△BCE，
∴$\frac{EB}{AE}$=$\frac{BC}{AD}$=$\frac{BC}{CG}$，
∴EC∥AG，
∴∠GAB=∠CEB=60°，
∵FA=FB，
∴△FAB是等邊三角形．
（2）結(jié)論不變．
證明：如圖2中，延長(zhǎng)AF到G使得FG=AF，連接BG、AB．
在△ADF和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=FG}\\{∠DFA=∠CFG}\\{DF=FC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF，
∴AF=FG，AD=CG，
∵∠DAE=∠CBE，∠DEA=∠CEB=60°，
∴△ADE∽△BCE，
∴$\frac{EB}{AE}$=$\frac{BC}{AD}$=$\frac{BC}{CG}$，
∴$\frac{BC}{EB}$=$\frac{CG}{AE}$，
∴∠GAB=∠CEB=60°，∵FA=FB，
∴△FAB是等邊三角形
∵∠GCB=∠GCF+∠DCE+∠ECB=∠FDA+∠DCE+30°=30°+∠EDC+∠DCE+30°=60°+∠EDC+∠DCE，
∠AEB=360°-∠DEA-∠CEB-∠DEC=360°-60°-60°-（180°-∠EDC-∠DCE）=60°+∠EDC+∠DCE
∴GCB=∠AEB，
∴△GCB∽△AEB，
∴∠GBC=∠ABE，$\frac{AB}{BG}$=$\frac{EB}{BC}$
∴∠ABG=∠EBC=90°，
∵AF=FG，
∴FB=AF=FG，
∵$\frac{AB}{GB}=\frac{EB}{BC}$，∠ABG=∠EBC，
∴△ABG∽△EBC，
∴∠GAB=∠CEB=60°，
∵FA=FB，
∴△FAB是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形，第二個(gè)問題比較難，用了多次相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?jí)狠S題．