Question

10．如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，P是拋物線在第四象限上一個動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，過點P作x軸的垂線，交x軸于點E，交BC于點F
（1）用含m的代數(shù)式表示線段PF的長度，并求出其最大值；
（2）若EF：FP=2：3，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的解析式結(jié)合二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得出點A、B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，根據(jù)點P的橫坐標(biāo)，找出點P、F的坐標(biāo)，由此即可得出PF關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法即可得出最值；
（2）根據(jù)P、F的坐標(biāo)即可得出EF、PF的長度，結(jié)合EF：FP=2：3即可得出m的值，將其代入點P的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時，y=-3，
∴C（0，-3）；
當(dāng)y=0時，有x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3=b}\\{0=3k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x-3．
∵點P的橫坐標(biāo)為m，
∴P（m，m²-2m-3）．
當(dāng)x=m時，y=m-3（0＜m＜3），
∴F（m，m-3）．
∴PF=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m．
∵PF=-m²+3m=-$（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{9}{4}$，-1＜0，
∴PF=-m²+3m（0＜m＜3），當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，PF取最大值$\frac{9}{4}$．
（2）∵F（m，m-3），F(xiàn)E⊥x軸，
∴EF=-（m-3）=3-m，
∵$\frac{EF}{FP}=\frac{3-m}{3m-{m}^{2}}$=$\frac{1}{m}$=$\frac{2}{3}$，
∴m=$\frac{3}{2}$，
此時點P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出點P、F的坐標(biāo)；（2）根據(jù)EF：FP=2：3求出m的值．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征找出點的坐標(biāo)是關(guān)鍵．