Question

12．如圖，長方形AOBC在直角坐標系中，點A在y軸上，點B在x軸上，已知點C的坐標是（8，4）．
（1）求對角線AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）對角線AB的垂直平分線MN交x軸于點M，連接AM，求線段AM的長；
（3）若點P是直線AB上的一個動點，當△PAM的面積與長方形OACB的面積相等時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由坐標系中點的意義結(jié)合圖形可得出A、B點的坐標，設(shè)出對角線AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式，由待定系數(shù)法即可求得結(jié)論；
（2）由相似三角形的性質(zhì)找到BM的長度，再結(jié)合OM=OB-BM得出OM的長，根據(jù)勾股定理即可得出線段AM的長；
（3）先求出直線AM的解析式，設(shè)出P點坐標，由點到直線的距離求出AM邊上的高h，再結(jié)合三角形面積公式與長方形面積公式即可求出P點坐標．

解答 解：（1）∵四邊形AOBC為長方形，且點C的坐標是（8，4），
∴AO=CB=4，OB=AC=8，
∴A點坐標為（0，4），B點坐標為（8，0）．
設(shè)對角線AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{4=b}\\{0=8k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴對角線AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{1}{2}$x+4．
（2）∵四邊形AOBC為長方形，且MN⊥AB，
∴∠AOB=∠MNB=90°，
又∵∠ABO=∠MBN，
∴△AOB∽△MNB，
∴$\frac{MB}{AB}=\frac{BN}{BO}$．
∵AO=CB=4，OB=AC=8，
∴由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵MN垂直平分AB，
∴BN=AN=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{5}$．
$\frac{MB}{AB}$=$\frac{BN}{BO}$=$\frac{2\sqrt{5}}{8}$=$\frac{MB}{4\sqrt{5}}$，即MB=5．
OM=OB-MB=8-5=3，
由勾股定理可得：
AM=$\sqrt{A{O}^{2}+O{M}^{2}}$=5．
（3）∵OM=3，
∴點M坐標為（3，0）．
又∵點A坐標為（0，4），
∴直線AM的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4．
∵點P在直線AB：y=-$\frac{1}{2}$x+4上，
∴設(shè)P點坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m+4），
點P到直線AM：$\frac{4}{3}$x+y-4=0的距離h=$\frac{|\frac{4}{3}m-\frac{1}{2}m+4-4|}{\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|m|}{2}$．
△PAM的面積S_△PAM=$\frac{1}{2}$AM•h=$\frac{5}{4}$|m|=S_OABC=AO•OB=32，
解得m=±$\frac{128}{5}$，
故點P的坐標為（$\frac{128}{5}$，-$\frac{44}{5}$）或（-$\frac{128}{5}$，$\frac{84}{5}$）．

點評 本題考查了坐標系中點的意義、相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定義、點到直線的距離、三角形和長方形的面積公式，解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)坐標系中點的意義，找到A、B點的坐標；（2）由相似三角形的相似比找出BM的長度；（3）結(jié)合點到直線的距離、三角形和長方形的面積公式找到關(guān)于m的一元一次方程．本題屬于中等題，難度不大，（1）小問容易得出結(jié)論；（2）沒有直接找OM長度，而是利用相似三角形找出BM的長度，此處部分學(xué)生可能會失分；（3）難度不大，運算量不小，這里尤其要注意點P有兩個．