Question

如圖，一次函數(shù)y=x-1圖象交x軸于點A，交y軸于點B，C為y軸負(fù)半軸上一點，且BC=2BO，過A，C兩點的拋物線交直線AB于點D，且CD∥x軸．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）點P是線段BD上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE的長度的最大值；
（3）在題中的拋物線上是否存在一點M，使得AD²+DM²=AM²？若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵一次函數(shù)y=x-1圖象交x軸于點A，交y軸于點B，
∴點A的坐標(biāo)為（1，0），點B的坐標(biāo)為：（0，-1），
∵BC=2BO，
∴點C的坐標(biāo)為（0，-3），
∵CD∥x軸，
∴點D的縱坐標(biāo)等于點C的縱坐標(biāo)，為-3，
∵點D在直線y=x-1上，
∴x-1=-3
解得：x=-2，
∴點D的坐標(biāo)為（-2，-3）
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c
∵經(jīng)過A、C、D三點，
∴
解得：a=1，b=2，c=-3，
∴拋物線的解析式為：y=x²+2x-3．

（2）∵點P在直線y=x-1上，
∴設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，x-1），
∵過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，
∴點E的坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），
∴PE=x-1-（x²+2x-3）=-x²-x+2=-（x-）²+2，
故線段PE的最大值為2；

（3）設(shè)存在拋物線上的點M，使得AD²+DM²=AM²，
設(shè)點M的坐標(biāo)為（a，a²+2a-3），
∵點A的坐標(biāo)為（1，0），點D的坐標(biāo)為（-2，-3）
∴AD²=[1-（-2）]²+3²=18
如圖，作DF⊥x軸與點F，MG⊥x軸于點G，
∴AM²=AG²+MG²=（1-a）²-（a²+2a-3）²，
DM²=DH²+MH²=（a+2）²-（a²+2a-3+3）²，
∵AD²+DM²=AM²，
∴（1-a）²-（a²+2a-3）²=（a+2）²-（a²+2a-3+3）²+18
解得：a=-1或-2，
當(dāng)a=-1時，a²+2a-3=-4，
∴此時點M的坐標(biāo)為（-1，-4）
當(dāng)a=-2時，a²+2a-3=-3，
此時點M的坐標(biāo)與點D的坐標(biāo)相同，
故點M的坐標(biāo)為：（-1，-4）．
分析：（1）利用直線的解析式求得點A和點B的坐標(biāo)，然后求得點C的坐標(biāo)，根據(jù)CD平行于x軸，得到點D的縱坐標(biāo)與點C的縱坐標(biāo)相同，然后代入直線的解析式即可求得點D的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2）設(shè)出點P的橫坐標(biāo)，根據(jù)點P在直線上，表示出其縱坐標(biāo)，根據(jù)PE平行于y軸表示出點E的坐標(biāo)，從而得到有關(guān)點P的橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，求其最大值即可；
（3）設(shè)存在點M，然后設(shè)出點M的坐標(biāo)，利用勾股定理將AD、DM、AM表示出來，利用AD²+DM²=AM²列出方程求得點M的橫坐標(biāo)后即可求得其坐標(biāo)．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，其中還考查了勾股定理及待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式等知識，能用點的坐標(biāo)表示出線段的長是解決本題的關(guān)鍵，此類題目在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．