Question

如圖，在△ABC中，AB＝BC，P為AB邊上一點，連接CP，以PA、PC為鄰邊作□APCD，AC與PD相交于點E，已知∠ABC＝∠AEP＝α(0°＜α＜90°)．

(1)求證：∠EAP＝∠EPA；

(2)□APCD是否為矩形？請說明理由；

(3)如圖，F(xiàn)為BC中點，連接FP，將∠AEP繞點E順時針旋轉適當?shù)慕嵌龋�得到∠MEN(點M、N分別是∠MEN的兩邊與BA、FP延長線的交點)．猜想線段EM與EN之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：在ΔABC和ΔAEP中 　　∵∠ABC＝∠AEP，∠BAC＝∠EAP 　　∴∠ACB＝∠APE 　　在ΔABC中，AB＝BC 　　∴∠ACB＝∠BAC 　　∴∠EPA＝∠EAP 　　(2)答：□APCD是矩形 　　∵四邊形APCD是平行四邊形 　　∴AC＝2EA，PD＝2EP 　　∵由(1)知∠EPA＝∠EAP 　　∴EA＝EP 　　則AC＝PD 　　∴□APCD是矩形 　　(3)答：EM＝EN 　　∵EA＝EP　∴∠EPA＝90°－α 　　∴∠EAM＝180°－∠EPA＝180°－(90°－α)＝90°＋α 　　由(2)知∠CPB＝90°，F(xiàn)是BC的中點，∴FP＝FB 　　∴∠FPB＝∠ABC＝α 　　∴∠EPN＝∠EPA＋∠APN＝∠EPA＋∠FPB＝90°－α＋α＝90°＋α 　　∴∠EAM＝∠EPN 　　∵∠AEP繞點E順時針旋轉適當?shù)慕嵌�，得到∠MEN 　　∴∠AEP＝∠MEN 　　∴∠AEP－∠AEN＝∠MEN－∠AEN即∠MEA＝∠NEP 　　∴ΔEAM≌ΔEPN　∴EM＝EN