Question

【題目】數(shù)學(xué)課上，張老師出示了如下框中的題目．

已知，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)分別是邊和上的點(diǎn)，且始終滿足，試確定與的大小關(guān)系．

小明與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：

（1）（特殊情況，探索結(jié)論）如圖1，若點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，容易得到與的大小關(guān)系．請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：____________（填“”，“”或“”）．

（2）（特例啟發(fā)，解答題目）如圖2，若點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，與的大小關(guān)系是：_________（填“”，“”或“”）．理由如下：連結(jié)，（請(qǐng)你完成剩下的解答過(guò)程）

（3）（拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題）在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)分別是直線和直線上的點(diǎn)，且始終滿足，若，，求的長(zhǎng)．（請(qǐng)你直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）=；（2）=，理由見(jiàn)解析；（3）1或3

【解析】

（1）根據(jù)等直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半解答即可；

（2）連結(jié)，證明△BDE≌△ADF即可；

（3）分四種情況求解：①當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上；②當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上；③當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上；④當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上．

（1）∵，，

∴∠ACD=45°.

∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∴∠CAD=45°，

∴∠CAD=∠ACD，

∴AD=CD，

即DE=DF；

（2）連結(jié)，

∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∴AD==BD．

∵，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∴∠B=∠C=∠CAD=∠BAD=45°，AD⊥BC，

∴∠ADE+∠BDE=90°．

∵DE⊥DF，

∴∠ADE+∠ADF=90°，

∴∠BDE=∠ADF．

在△BDE和△ADF中，

∵∠B=∠CAD=45°，

AD=BD，

∠BDE=∠ADF，

∴△BDE≌△ADF，

∴DE=DF；

（3）①當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，如圖1，

由（2）知，AD=CD，∠CAD=∠ACB=45°，

∴∠DAE=∠DCE=135°．

∵DE⊥DF，E⊥DF，

∴∠CDE+∠CDF=90°，∠ADE+∠CDE=90°，

∴∠CDF=∠ADE，

在△ADE和△CDF中，

∵∠DAE=∠DCE，

AD=CD，

∠ADE=∠CDF，

∴△ADE≌△CDF，

∴CF=AE，

∵BE=2，，AB=1，

∴CF=AE=2-1=1；

②當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，如圖2，

與①同理可證△ADF≌△BDE，

∴AF=BE=2，

∵AC=1，

∴CF=2+1=3；

③當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，如圖3， 連接AD，并延長(zhǎng)交EF與H，

∵∠5=∠1+∠3，∠6=∠2+∠4，

∴∠5+∠6=∠1+∠3+∠2+∠4，

∵∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，

∴∠3+∠4=0°，不合題意，此種情況不成立；

④當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，如圖4，

同③的方法可說(shuō)明此種情況也不成立．

綜上可知，CF的長(zhǎng)是1或3．