Question

已知：（如圖）邊長為1的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)L為劣弧CD（不含端點(diǎn)）上任意一點(diǎn)．直線AL交線段CD于點(diǎn)K，直線CL交直線AD于點(diǎn)M，直線MK交線段BC于點(diǎn)N，線段LB交線段KN于點(diǎn)P．
（1）求證：MN=

2

；
（2）求證：B，M，L，N四點(diǎn)共圓；
（3）求證：KP=NP．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,正方形的性質(zhì),圓周角定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）如圖1，易證△MDC≌△KDA，則有MD=KD，從而有∠DMK=∠DKM=∠CKN=45°．從而有MK=

2

DK，NK=

2

CK，就可證到MN=

2

DC=

2

．
（2）連接BD，如圖2，根據(jù)圓周角定理可得∠CLB=∠CDB=45°，從而可得∠PNB=∠MLP=135°，就可得到B、N、L、M四點(diǎn)共圓．
（3）連接CP，如圖3，由∠CLP=∠CKP=45°可得P、C、L、K四點(diǎn)共圓，則有∠CPN=∠CLK=90°，即CP⊥KN．由∠CNK=45°=∠CKN得CK=CN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得PK=PN．

解答：證明：（1）如圖1，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，DC=DA．
∴∠MDC=90°．
在△MDC和△KDA中，

∠DCM=∠DAK DC=DA ∠CDM=∠ADK

．
∴△MDC≌△KDA．
∴MD=KD．
∴∠DMK=∠DKM=45°．
∴∠CKN=∠DKM=45°．
∴MK=

2

DK，NK=

2

CK．
∴MN=MK+NK=

2

DK+

2

CK=

2

DC=

2

．

（2）連接BD，如圖2，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°．
∴∠CLB=∠CDB=45°．
∴∠MLP=135°．
∵∠PNB=∠KCN+∠CKN=135°，
∴∠PNB=∠MLP．
∴B、N、L、M四點(diǎn)共圓．

（3）連接CP，如圖3，
∵∠CLP=∠CKP=45°，
∴P、C、L、K四點(diǎn)共圓．
∴∠CPN=∠CLK=90°．
∴CP⊥KN．
∵∠CNK=90°-45°=45°=∠CKN，
∴CK=CN．
∵CK=CN，CP⊥KN，
∴PK=PN．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理、四點(diǎn)共圓的判定、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，有一定的綜合性，而運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解決第（3）小題的關(guān)鍵．