Question

16．已知，如圖，點D在射線AB上，且AD=2，點P是射線AC上的一個動點，線段PD的垂直平分線與射線AC交于點E，與∠BAC的平分線交于點F．連結(jié)DF、PF、EF．
（1）當DF∥AC時，求證：AD=PF．
（2）當∠BAC=60°時，設AP=x，AF=y，求y關于x的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義得到∠BAF=∠FAC，由平行線的性質(zhì)得到∠DAF=∠FAC，等量代換得到∠DAF=∠DFA，由等腰三角形的判定得到AD=DF，由EF垂直平分DP，得到DF=PF，等量代換即可得到結(jié)論；
（2）過點F作FG⊥AC于G，F(xiàn)H⊥AB于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到FH=FG，由∠BAC=60°，得到∠FAC=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到FG=$\frac{1}{2}$AF，AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AF，同理FH=$\frac{1}{2}$AF，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AF，由EF垂直平分DP，得到FD=FP，推出Rt△FDH≌Rt△FPG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PG=DH，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠FAC，
∵DF∥AC，
∴∠DAF=∠FAC，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，
∵EF垂直平分DP，
∴DF=PF，
∴AD=PF；

（2）過點F作FG⊥AC于G，F(xiàn)H⊥AB于H，
∵AF平分∠BAC，F(xiàn)G⊥AC，F(xiàn)H⊥AB，
∴FH=FG，∵∠BAC=60°，
∴∠FAC=30°，
∴FG=$\frac{1}{2}$AF，AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AF，
同理FH=$\frac{1}{2}$AF，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AF，
∵EF垂直平分DP，
∴FD=FP，
在Rt△FDH與Rt△FPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{FD=FP}\\{FH=FG}\end{array}\right.$，
∴Rt△FDH≌Rt△FPG，
∴PG=DH，
∵AD=2，AP=x，AF=y，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$y+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$y-2），
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．