【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)A、B,且AB=2,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2;

(1求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2如果拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P,使得△APC周長的最小,求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)及△APC周長;

(3設(shè)D為拋物線上一點(diǎn),E為對(duì)稱軸上一點(diǎn),若以點(diǎn)A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)D的坐標(biāo).(直接寫出結(jié)果

【答案】(1y=x2-4x+3.(2.(點(diǎn)D的坐標(biāo)可以為:(2,-1、(0,3、(4,3

【解析】

試題分析:(1由AB=2,拋物線的對(duì)稱軸為x=2,得知拋物線與x軸交點(diǎn)為(1,0、(3,0,即1、3為方程x2+bx+c=0的兩個(gè)根,結(jié)合跟與系數(shù)的關(guān)系可求得b、c;

(2由拋物線的對(duì)稱性,可得出PA+PC最短時(shí),P點(diǎn)為線段BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn),由此可得出結(jié)論;

(3平行四邊形分兩種情況,一種AB為對(duì)角線,由平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)可求出D點(diǎn)坐標(biāo);另一種,AB為一條邊,根據(jù)對(duì)比相等,亦能求出D點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析:(1AB=2,對(duì)稱軸為直線x=2,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0

拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B,

1,3是方程x2+bx+c=0的兩個(gè)根,

由根與系數(shù)的關(guān)系,得1+3=-b,1×3=c,

b=-4,c=3,

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+3.

(2連接AC,BC,BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,連接PA,如圖1,

由(1知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+3,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,0,(3,0,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3,

BC=,AC=

點(diǎn)A,B關(guān)于對(duì)稱軸直線x=2對(duì)稱,

PA=PB,

PA+PC=PB+PC,此時(shí),PB+PC=BC,

當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),PA+PC的最小值等于BC,

∴△APC周長的最小值=AC+AP+PC=BC+AC=

(3以點(diǎn)A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分兩種情況,

線段AB為對(duì)角線,如圖2,

平行四邊對(duì)角線互相平分,

DE在對(duì)稱軸上,此時(shí)D點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn),

將x=2代入y=x2-4x+3中,得y=-1,

即點(diǎn)D坐標(biāo)為(2,-1

線段AB為邊,如圖3,

四邊形ABDE為平行四邊形,

ED=AB=2,

設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(2,m,則點(diǎn)D坐標(biāo)為(4,m或(0,m,

點(diǎn)D在拋物線上,

將x=0和x=4分別代入y=x2-4x+3中,解得m均為3,

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,3或(0,3

綜合①②得點(diǎn)D的坐標(biāo)可以為:(2,-1、(0,3、(4,3

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