Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（0，3）、（1，0），連接AB將線段AB繞點B旋轉90°得到線段CB．拋物線y=

1

5

x²+bx-

3

5

的圖象經過點C．
（1）求點C的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若將線段AB向右平移，使點B恰好落在拋物線上，求線段AB掃過的面積．

Answer 1

考點：二次函數圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）如圖，連接AC，利用勾股定理進行解答；
（2）把點C的坐標代入函數解析式，通過方程來求系數b的值；
（3）所掃過的部分平行四邊形，根據平行四邊形的面積公式進行解答．

解答：解：（1）如圖，連接AC．
設C（x，y）（x、y＞0）．則

(x-1)2+y2=32+12 x2+(y-3)2=2(32+12)

，
解得

x=4 y=1

．
故C（4，1）．

（2）由（1）知，C（4，1）．將其代入y=

1

5

x²+bx-

3

5

，得

1

5

×4²+4b-

3

5

=1，
解得 b=-

2

5

．
則該函數的解析式為：y=

1

5

x2-

2

5

x-

3

5

．

（3）令y=0，則

1

5

x²-

2

5

x-

3

5

=0，整理，得
（x+1）（x-3）=0，
則x₁=-1，x₂=3，
故D（3，0）．
∵B（1，0），
∴DB=2，
則S_{平行四邊形ABDE}=BD•OA=2×3=6，即線段AB掃過的面積是6．

點評：本題考查了二次函數圖象與幾何變換．此題利用待定系數法來求二次函數的解析式，這是中學階段經常考核的知識點之一．