Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+2（a≠0）的圖象與x 軸交于A，B 兩點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn) A(-4,0)，B(1,0)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn) D(m,n) 是拋物線在第二象限的部分上的一動(dòng)點(diǎn)，四邊形 的面積為 ，求 關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系；

（3）若點(diǎn) E 為拋物線對稱軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)以 A，C，E 為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請求出滿足條件的所有點(diǎn) E 的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】試題解析：（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）用m表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，利用四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+ 四邊形OCDH的面積即可求得S關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系；（3）求出函數(shù)的對稱軸，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，分∠AEC=90°、

∠ACE=90°和∠CAE=90°三種情況求點(diǎn)E的坐標(biāo)即可.

試題分析：

（1）∵A(-4,0)，B(1,0) 在二次函數(shù)y=ax2+bx+2（a≠0）的圖象上，

∴ ， 解得 .

∴拋物線的解析式為．

（2）∵ 點(diǎn)D（m，n）是拋物線在第二象限的部分上的一動(dòng)點(diǎn)，

∴D（m， ），

過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，

則DH= ，AH=m+4，HO=-m，

∵ 四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+ 四邊形OCDH的面積，

∴，

化簡，得．

（3） 拋物線的對稱軸為，

故設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）．

∴．

若∠AEC=90°，則，

解得，

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是或；

若∠ACE=90°，則，

解得n=5，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是 ；

若∠CAE=90°，則，

解得 n=-5，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是；

綜上所述點(diǎn)E的坐標(biāo)是或或或．