Question

如圖A，B，C，D四點在同一圓周上，且BC=DC=4，AE=6，線段BE、DE的長為正整數(shù)，求BD的長．

Answer 1

解：∵BC=CD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵∠DBC=∠DAC，
∴∠BAC=∠DBC，
又∵∠BCE=∠ACB，
∴△ABC∽△BEC，
∴BC²=CE•AC，
∵BC=CD=4，AE=6，
∴EC=2，
由相交弦定理得，BE•DE=AE•EC，
即BE•DE=12，
又線段BE、ED為正整數(shù)，
且在△BCD中，BC+CD＞BE+DE，
所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，
所以BD=BE+DE=7．
故答案為：7．
分析：根據(jù)已知條件，易證△ABC∽△BEC，所以BC²=CE•AC，即可求得EC=2，利用相交弦定理，可以確定BE•DE=12，又線段BE、ED為正整數(shù)，且在△BCD中，BC+CD＞BE+DE，所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，所以BD=7．
點評：本題結(jié)合三角形的面積考查了相交弦定理，即“圓內(nèi)兩弦相交于圓內(nèi)一點，各弦被這點所分得的兩線段的長的乘積相等”．熟記并靈活應(yīng)用定理是解題的關(guān)鍵．