Question

問題探究：
（1）如圖1，在⊙O中，AB是直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，AE=a，EB=b．計(jì)算CE的長(zhǎng)度（用a、b的代數(shù)式表示）．
（2）如圖2，請(qǐng)你在邊長(zhǎng)分別為a、b（a＞b）的矩形ABCD的邊AD上找一點(diǎn)M，使得線段CM=

ab

（保留作圖痕跡）．
問題解決：
（3）請(qǐng)你在（2）中結(jié)論的基礎(chǔ)上，在圖3中對(duì)矩形ABCD進(jìn)行拆分并拼接為一個(gè)與其面積相等的正方形．并探究你所畫出拼成的正方形的面積是否存在最大值和最小值？若存在，求出這個(gè)最大值和最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖1，連接AC、BC，利用AB是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，求證△ACE∽△CBE，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得；
（2）如圖2，延長(zhǎng)BC，使得CE=CD．以BE為直徑畫弧，以C為圓心，以CP為半徑畫弧即可；
（3）如圖3，利用了（2）的結(jié)論，在圖3中對(duì)矩形ABCD進(jìn)行拆分并拼接為一個(gè)與其面積相等的正方形．

解答：解：（1）如圖1，連接AC、BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ECB=90°，
又∴CD⊥AB于點(diǎn)E，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠A=90°，
∴∠A=∠ECB，
∴△ACE∽△CBE，
∴

AE

CE

=

CE

BE

，
∴CE²=AE•BE=ab，
∵CE為線段，
∴CE=

ab

；

（2）如圖2，延長(zhǎng)BC，使得CE=CD．
以BE為直徑畫弧，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
以C為圓心，以CP為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)M．點(diǎn)M即為所求．

（3）如圖3．以C為圓心，CM長(zhǎng)為半徑畫圓，過B點(diǎn)作FB∥MC，
做MN⊥FB，CQ⊥FB，
正方形MNQC為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，涉及到復(fù)雜作圖及垂徑定理等相關(guān)知識(shí)，難度較大．