Question

6．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，點(diǎn)D在OC的延長線上，連接DA，交BC的延長線于點(diǎn)E，使得∠DAC=∠B．
（1）求證：DA是⊙O切線；
（2）求證：△CED∽△ACD；
（3）若OA=1，sinD=$\frac{1}{3}$，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理和已知條件求出AD⊥AB即可證明DA是⊙O切線；
（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；
（3）由題意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC²=DE•AD，故此可求得DE的長，于是可求得AE的長．

解答 （1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∵∠DAC=∠B，
∴∠CAB+∠DAC=90°．
∴AD⊥AB．
∵OA是⊙O半徑，
∴DA為⊙O的切線；
（2）解：∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B．
∵∠DCE=∠OCB，
∴∠DCE=∠B．
∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC=∠DCE．
∵∠D=∠D，
∴△CED∽△ACD；
（3）解：在Rt△AOD中，OA=1，sinD=$\frac{1}{3}$，
∴OD=$\frac{OA}{sinD}$=3，
∴CD=OD-OC=2．
∵AD=$\sqrt{O{D}^{2}-O{A}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
又∵△CED∽△ACD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{DE}$，
∴DE=$\frac{C{D}^{2}}{AD}$=$\sqrt{2}$，
∴AE=AD-DE=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理的應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)和判定，證得△DEC∽△DCA是解題的關(guān)鍵．