Question

如圖，點E為正方形ABCD中AD邊上的動點，AB=2，以BE為邊畫正方形BEFG，連結CF和CE，則△CEF面積的最小值為　　　　　　．

　

Answer 1

　　．

【考點】正方形的性質．

【分析】過點F作FM⊥AD延長線于點M，令EF與CD的交點為N點，設AE=x．根據三角形的面積公式可知S_△CEF=CN•ME，由此可知當CN最小時△CEF的面積取最小值．根據給定的條件已經角的計算找出“∠AEB=∠MFE，∠ABE=∠MEF”，從而證出△ABE≌△MEF，即得出MF=AE，ME=AB，再通過相似三角形的性質用含x的關系式表示出DN的長度，根據二項式的性質即可找出DN的最大值，將其代入前面的面積公式中即可得出結論．

【解答】解：過點F作FM⊥AD延長線于點M，令EF與CD的交點為N點，如圖所示．

則S_△CEF=CN•ME．

∵四邊形ABCD為正方形，四邊形BEFG為正方形，

∴∠A=90°，∠BEF=90°，BE=EF，

∴∠AEB+∠ABE=90°，∠MEF+∠MFE=90°，∠AEB+∠BEF+∠MEF=180°，

∴∠AEB=∠MFE，∠ABE=∠MEF．

在△ABE和△MEF中，

，

∴△ABE≌△MEF（ASA）．

∴MF=AE，ME=AB．

∵CD⊥AD，F(xiàn)M⊥AD，

∴ND∥FM，

∴△EDN∽△AMF，

∴．

設AE=x，則ED=AD﹣AE=2﹣x，EM=AB=2，MF=AE=x，

∴DN==﹣x²+x=﹣（x﹣1）²+≤．

∴CN=CD﹣DN≥2﹣≥．

∴△CEF面積的最小值為CN•ME=××2=．

故答案為：．

【點評】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定及性質、相似三角形的判定及性質、三角形的面積公式及二次函數的性質，解題的關鍵是找出線段DN的最大值．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據三角形的面積公式找出其去最值的條件，再結合二次函數的性質去解決最值問題．