Question

如圖，拋物線y＝x²＋bx－2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A(－1，0)．

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

(2)判斷△ABC的形狀，證明你的結論；

(3)點M(m，0)是x軸上的一個動點，當CM＋DM的值最小時，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=x²+bx-2上，

∴×（-1）²+b×(-1)-2=0,b=-

∴拋物線的解析式為y=x²-x-2.          

y=x²-x-2=(x²-3x-4)=(x-)²-,

∴頂點D的坐標為 (,-).                

(2)當x=0時y=-2, ∴C（0，-2），OC=2。

當y=0時，x²-x-2=0，∴x₁=-1,x₂=4, ∴B(4,0). 

∴OA=1,OB=4,AB=5.

∵AB²=25,AC²=OA²+OC²=5,BC²=OC²+OB²=20,

∴AC²+BC²=AB².∴△ABC是直角三角形.       

(3) 作出點C關于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），O C′=2

連接C′D交x軸于點M，

根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+MD的值最小。

解法一：設拋物線的對稱軸交x軸于點E.

∵ED∥y軸, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM.

∴=

∴=,∴m=   

解法二：設直線的解析式為y=kx+n,

則，解得n=-2,k=-.

∴y=-x+2.

∴當y=0時， -x+2=0，

x=.     ∴m=.