Question

2．如圖，拋物線y=ax²+3x+c經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P在第一象限的拋物線上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，過(guò)點(diǎn)P向x軸作垂線交直線BC于點(diǎn)Q，設(shè)線段PQ的長(zhǎng)為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出m的最大值；
（3）在（2）的條件下，拋物線上點(diǎn)D（不與C重合）的縱坐標(biāo)為m的最大值，在x軸上找一點(diǎn)E，使點(diǎn)B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出E點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、c的方程組，從而可求得a、c的值；
（2）先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后依據(jù)待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，由直線可拋物線的解析式可知P（t，-t²+3t+4），Q（t，-t+4），從而可求得QP與t的關(guān)系式，最后依據(jù)配方法可求得m的最大值；
（3）將y=4代入拋物線的解析式求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得到BE=CD=3時(shí)，B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，從而可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解（1）∵拋物線y=ax²+3x+c經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3+c=0}\\{16a+12+c=0}\end{array}\right.$．
解得：a=-1，c=4．
∴拋物線的解析式為y=-x²+3x+4．
（2）∵將x=0代入拋物線的解析式得：y=4，
∴C（0，4）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b．
∵將B（4，0），C（0，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=-1，b=4
∴直線BC的解析式為：y=-x+4．
過(guò)點(diǎn)P作x的垂線PQ，如圖所示：

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，
∴P（t，-t²+3t+4），Q（t，-t+4）．
∴PQ=-t²+3t+4-（-t+4）=-t²+4t．
∴m=-t²+4t=-（t-2）²+4（0＜t＜4）．
∴當(dāng)t=2時(shí)，m的最大值為4．
（3）將y=4代入拋物線的解析式得：-x²+3x+4=4．
解得：x₁=0，x₂=3．
∵點(diǎn)D與點(diǎn)C不重合，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4）．
又∵C（0，4）
∴CD∥x軸，CD=3．
∴當(dāng)BE=CD=3時(shí)，B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
∴點(diǎn)E（1，0）或（7，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、配方法求二次函數(shù)的最值、平行線四邊形的判定，由拋物線和直線BC的解析式得到點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)，從而得到PQ與t的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．