Question

【題目】下面是小方設(shè)計(jì)的“作一個(gè)30°角”的尺規(guī)作圖過(guò)程．

已知：直線(xiàn)AB及直線(xiàn)AB外一點(diǎn)P．

求作：直線(xiàn)AB上一點(diǎn)C，使得∠PCB＝30°．

作法：

①在直線(xiàn)AB上取一點(diǎn)M；

②以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑畫(huà)弧，與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)M、N；

③分別以M、N為圓心，PM為半徑畫(huà)弧，在直線(xiàn)AB下方兩弧交于點(diǎn)Q．

④連接PQ，交AB于點(diǎn)O．

⑤以點(diǎn)P為圓心，PQ為半徑畫(huà)弧，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)C且點(diǎn)C在點(diǎn)O的左側(cè)．則∠PCB就是所求作的角．

根據(jù)小方設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明．

證明：∵PM＝PN＝QM＝QN，

∴四邊形PMQN是　 　．

∴PQ⊥MN，PQ＝2PO（　 　）．（填寫(xiě)推理依據(jù)）

∵在Rt△POC中，sin∠PCB＝＝　 　（填寫(xiě)數(shù)值）

∴∠PCB＝30°．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）菱形，菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，．

【解析】

（1）根據(jù)圖中所給的作圖步驟，補(bǔ)全圖形，保留作圖痕跡．

（2）根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)，即可推得四邊形PMQN是菱形．菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，可得PQ⊥MN，PQ＝2PO，利用正弦函數(shù)即可求得所作的叫是30°角．

（1）如圖即為補(bǔ)全的圖形；

（2）完成下面的證明．

∵PM＝PN＝QM＝QN，

∴四邊形PMQN是菱形．

∴PQ⊥MN，PQ＝2PO（菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分）．

∵在Rt△POC中，sin∠PCB＝，

∴∠PCB＝30°．

故答案為：菱形，菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，．