Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸y軸的正半軸上，線段OA的長(zhǎng)是不等式5x﹣4＜3（x+2）的最大整數(shù)解，線段OB的長(zhǎng)是一元二次方程x²﹣2x﹣3=0的一個(gè)根，將Rt△ABO沿BE折疊，使AB邊落在OB邊所在的y軸上，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合．

（1）求OA、OB的長(zhǎng)；
（2）求直線BE的解析式；
（3）在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，使B、O、E、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）OA=4，OB=3 （2）y=﹣2x+3 （3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣，3）或（，3）或（，﹣3）

試題分析：（1）求出不等式的解集，求出OA，求出方程的解，得出OB；
（2）根據(jù)對(duì)折得出DE=AE，BD=AB=5，設(shè)OE=x，在Rt△OED中，由勾股定理得出方程2²+x²=（4﹣x）²，求出x，得出E的坐標(biāo)，設(shè)直線BE的解析式是y=kx+b，把B、E的坐標(biāo)代入求出即可；
（3）分別以O(shè)B、BE、OE為對(duì)角線，得出符合條件的四邊形有三個(gè)，根據(jù)B、E的坐標(biāo)即可求出M的坐標(biāo)．
解：（1）∵5x﹣4＜3（x+2），
5x﹣4＜3x+6，
2x＜10，
x＜5，
∴OA=4，
∵x²﹣2x﹣3=0，
（x﹣3）（x+1）=0，
x﹣3=0，x+1=0，
x=3，x=﹣1，
∴OB=3，
答：OA=4，OB=3；
（2）在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，
∵OB=3，
∴B（0，3），
設(shè)OE=x，
∵將Rt△ABO沿BE折疊，使AB邊落在OB邊上，A與D重合，
∴DE=AE，BD=AB=5，
∴DE=AE=4﹣x，OD=5﹣3=2，
在Rt△OED中，由勾股定理得：2²+x²=（4﹣x）²，
解得：x=，
即E的坐標(biāo)是：（，0）．
設(shè)直線BE的解析式是y=kx+b，
∵把B、E的坐標(biāo)代入得：，
解得：k=﹣2，b=3，
∴直線BE的解析式是y=﹣2x+3；
（3）如圖所示：
在平面內(nèi)存在點(diǎn)M，使B、O、E、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣，3）或（，3）或（，﹣3）．


點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元一次不等式，解一元二次方程，勾股定理，平行四邊形性質(zhì)，折疊問(wèn)題的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：用了方程思想和分類討論思想．