Question

如圖，已知：AD∥BC，AB⊥BC，AB=3cm，AD=2cm．點P是線段AB上的一個動點，連接PD，過點D作CD⊥PD，交射線BC于點C，再過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E．
（1）填空：當AP=2cm時，PD=

2

2

cm；
（2）求

PD

CD

的值；
（3）當△APD與△DPC相似時，求線段BC的長．

Answer 1

分析：（1）因為AB⊥BC，所以∠A=90°，所以三角形ADP是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求出PD的長；
（2）由已知易得四邊形ABCE是矩形，所以CE=AB=3，AE=BC，再證明△APD∽△EDC，由相似三角形的性質(zhì)即可求出

PD

CD

的值；
（3）根據(jù)題意，當△APD與△DPC相似時，有下列兩種情況：①當點P與點B不重合，且△APD∽△DPC時．②如圖2，當點P與點B重合，且△APD∽△DCP時，分別討論求出符合題意的BC的長即可．

解答：解：（1）∵AB⊥BC，
∴∠A=90°，
∴三角形ADP是直角三角形，
∵AD=2cm，AP=2cm
∴PD=

AD2+AP2

=2

2

cm；

（2）如圖1，由已知易得四邊形ABCE是矩形．
∴CE=AB=3，AE=BC，
∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
又∵∠A=∠E=90°，
∴△APD∽△EDC，
∴

PD

CD

=

AD

EC

=

2

3

；

（3）根據(jù)題意，當△APD與△DPC相似時，有下列兩種情況：
①當點P與點B不重合，且△APD∽△DPC時．
由△APD∽△EDC，得

AP

DE

=

PD

DC

，即

AP

PD

=

DE

CD

，
由△APD∽△DPC，得

AP

PD

=

AD

DC

，
∴

AD

CD

=

DE

CD

，即DE=AD=2，
∴AE=4，
∴BC=AE=4；
②如圖2，當點P與點B重合，且△APD∽△DCP時，
在Rt△ABD中，由AD=2，AB=3，得BD=

13

．
由△ABD∽△DCB，得

AD

BD

=

BD

BC

，
即

2

13

=

13

BC

，
解得BC=

13

2

．…（13分）
∴當△APD與△DPC相似時，BC為4或

13

2

．

解法二：設(shè)DE=xcm，
∴BC=AE=（2+x）cm，且EC=AB=3cm，
∵△APD∽△EDC，
∴

AD

EC

=

AP

DE

，
即：

2

3

=

AP

x

，
∴AP=

2

3

x．
根據(jù)題意，當△APD與△DPC相似時，有下列兩種情況：
①當△APD∽△DPC時，
∴

AP

PD

=

AD

DC

，
∴

AP

AD

=

PD

DC

，
由（2）有：

2 3 x

2

=

2

3

，
解得：x=2，
∴BC=AE=2+2=4．
②當△APD∽△DCP時，
∴

AP

DC

=

AD

PD

，
∴

AP

AD

=

DC

PD

，
由（2）有：

2 3 x

2

=

3

2

，
解得：x=

9

2

，
∴BC=AE=2+

9

2

=

13

2

．
綜上所述，當△APD與△DPC相似時，BC為4或

13

2

．

解法三：設(shè)DE=xcm，∴BC=AE=（2+x）cm，且EC=AB=3cm，
∵△APD∽△EDC，
∴

AD

EC

=

AP

DE

，
即：

2

3

=

AP

x

，∴AP=

2

3

x，
根據(jù)題意，當△APD與△DPC相似時，有下列兩種情況：
①當△APD∽△DPC時，
∴∠ADP=∠DCP，
∴tan∠ADP=tan∠DCP，
∴

AP

AD

=

PD

DC

，
結(jié)合（2）有：

2 3 x

2

=

2

3

，
解得：x=2，
∴BC=AE=2+2=4．
②當△APD∽△DCP時，
∴∠ADP=∠DPC，
∴tan∠ADP=tan∠DPC，
∴

AP

AD

=

DC

PD

，
結(jié)合（2）有：

2 3 x

2

=

3

2

解得：x=

9

2

，
∴BC=AE=2+

9

2

=

13

2

，
綜上所述，當△APD與△DPC相似時，BC為4或

13

2

．
故答案為2

2

．

點評：本題考查了直角三角形的判定和性質(zhì)：特別是勾股定理的運用、矩形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及分類討論的數(shù)學思想，特別是第（3）小題解題的方法很多，很好的訓練了學生的發(fā)散思維．