如圖,AB為⊙O的直徑,PQ切⊙O于T,AC⊥PQ于C,交⊙O于D.
(1)求證:AT平分∠BAC;
(2)若AD=2,TC=,求⊙O的半徑.

【答案】分析:(1)PQ切⊙O于T,則OT⊥PC,根據(jù)AC⊥PQ,則AC∥OT,要證明AT平分∠BAC,只要證明∠TAC=∠ATO就可以了.
(2)過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC于M,則滿足垂徑定理,在直角△AOM中根據(jù)勾股定理就可以求出半徑OA.
解答:(1)證明:連接OT;
∵PQ切⊙O于T,
∴OT⊥PQ,
又∵AC⊥PQ,
∴OT∥AC,
∴∠TAC=∠ATO;
又∵OT=OA,
∴∠ATO=∠OAT,
∴∠OAT=∠TAC,
即AT平分∠BAC.

(2)解:過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC于M,
∴AM=MD==1;
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°,
∴四邊形OTCM為矩形,
∴OM=TC=
∴在Rt△AOM中,
;
即⊙O的半徑為2.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的切線性質(zhì)定理,等腰三角形的性質(zhì)定理,等邊對(duì)等角,垂徑定理,勾股定理.此題是這幾個(gè)定理的綜合應(yīng)用.
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