Question

20．如圖，A、P、B、C是⊙O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°．
（1）△ABC的形狀是等邊三角形；（直接填空，不必說理）
（2）延長BP到D點，使得BD=CP，連接AD，試判斷△ADP的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，從而可判斷△ABC的形狀；
（2）由（1）結(jié)論知AB=AC，推出△PCA≌△DBA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠D=∠APC=60°，由于∠DPA=180°-∠APC-∠CPB=60°，求得∠DAP=60°，即可得到結(jié)論．

解答 解：△ABC是等邊三角形．
證明如下：在⊙O中，
∵∠BAC與∠CPB是$\widehat{BC}$所對的圓周角，∠ABC與∠APC是$\widehat{AC}$所對的圓周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形；
故答案為：等邊三角形；

（2）足等邊三角形，
理由：由（1）結(jié)論知AB=AC，
∵BD=CP，∠PCA=∠DBA，
在△PCA與△DBA中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠PCA=∠DBA}\\{BD=CP}\end{array}\right.$，
∴△PCA≌△DBA，
∴∠D=∠APC=60°，
∵∠DPA=180°-∠APC=∠CPB=60°，
∴∠DAP=60°，
∴△ADP是等邊三角形．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理．同弧所對的圓周角相等，并且等于它所對的圓心角的一半．也考查了等邊三角形的判定方法．