Question

如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交AC邊于點D，且過點D的⊙O的切線DE平分BC邊，交BC于E．
（1）求證：BC是⊙O的切線．
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，以點O、B、E、D為頂點的四邊形是正方形？

Answer 1

解：（1）連接OD、OE，
∵O為AB的中點，E為BC的中點，
∴OE為△ABC的中位線，
∴OE∥AC（三角形中位線性質(zhì)），
∴∠DOE=∠ODA，∠BOE=∠A（平行線性質(zhì)），
∵OA=OD
∴∠A=∠ODA
∴∠DOE=∠BOE（等量代換）
∵OD=OB，OE=OE
∴△ODE≌△OBE（邊角邊）
∴∠ODE=∠OBE
∵DE是⊙O的切線
∴∠ODE=∠OBE=90°
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切線．

（2）當(dāng)為等腰三角形（AB=BC）時四邊形OBDE是正方形，證明如下：
連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴BD⊥AC（直徑所對的圓周角為直角），
∵AB=BC，
∴D為AC的中點（等腰三角形的性質(zhì)），
∵E為BC的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE∥AB，
∵DE為⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴OD⊥AB，
∴∠DOB=∠OBE=∠ODE=90°，
∵OD=OB，
∴四邊形OBED為正方形．
分析：（1）要證BC是⊙O的切線，就要證OB⊥BC，只要證∠OBE=90°即可，首先作輔助線，連接OD、OE，由已知得OE為△ABC的中位線，OE∥AC，從而證得△ODE≌△OBE，推出∠ODE=∠OBE，又DE是⊙O的切線，所以得∠OBE=90°，即OB⊥BC，得證．
（2）由題意使四邊形OBED是正方形，即得到OD=BE，又由已知BE=CE，BC=2BE，AB=2OD，所以AB=BC，即△ABC為等腰三角形（AB=BC）．再通過△ABC為等腰三角形（AB=BC）論證以點O、B、E、D為頂點的四邊形是正方形．
點評：此題是切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定性質(zhì)、圓周角定理的綜合運用．解題的關(guān)鍵是通過作輔助線證明三角形全等，得到∠OBE=90°，即OB⊥BC得出結(jié)論．第二問關(guān)鍵是通過以點O、B、E、D為頂點的四邊形是正方形推出△ABC為等腰三角形（AB=BC）．然后加以論證．