Question

（2012•黃岡二模）如圖，已知D是BC延長線上一點，DE切△ABC的外接圓于E，DE∥AC，AE、BC的延長線交于G，BE交AC于F．
（1）求證：AE²=AB•CD；
（2）若AE=2，EG=6，AB=3，求GD的長．

Answer 1

分析：（1）首先連接EC，由弦切角定理，易證得∠DEC=∠EAC，又由DE∥AC，易證得∠DEC=∠ACE，即可得∠ACE=∠EAC，由等角對等邊即可證得AE=EC，易證得△BEA∽△EDC，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可證得結(jié)論；
（2）由（1）可求得CD的長，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得GD的長．

解答：（1）證明：連接EC，
∵DE切△ABC的外接圓于E，
∴∠DEC=∠EAC，
∵DE∥AC，
∴∠ACE=∠DEC，
∴∠ACE=∠EAC，
∴AE=CE，
∵∠ABE=∠ACE，
∴∠ABE=∠DEC，
∵∠ECD+∠BCE=180°，∠BAE+∠BCE=180°，
∴∠BAE=∠ECD，
∴△BEA∽△EDC，
∴

AE

CD

=

AB

EC

，
∴AE•EC=AB•CD，
∴AE²=AB•CD；

（2）解：∵AE=2，AB=3，
∴CD=

AE2

AB

=

4

3

，
∵DE∥AC，EG=6，
∴

EG

AE

=

GD

CD

，
即

6

2

=

GD

4 3

，
解得：GD=4．

點評：此題考查了弦切角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．