Question

25、若n為自然數(shù)，n+3與n+7都是質數(shù)，求n除以3所得的余數(shù)．

Answer 1

分析：因為求n除以3所得的余數(shù)，所以設n=3k（k是一個非負整數(shù)），然后將其代入n+3和n+7，并由n+3與n+7都是質數(shù)對其進行論證．

解答：解：∵n除以3所得的余數(shù)只可能為0、1、2三種．
①若余數(shù)為0，即n=3k（k是一個非負整數(shù)，下同），則n+3=3k+3=3（k+1），所以3|n+3，又3≠n+3，故n+3不是質數(shù)，與題設矛盾．
②若余數(shù)為2，且n=3k+2，則n+7=3k+2+7=3（k+3），故3|n+7，n+7不是質數(shù)；與題設矛盾．
所以n除以3所得的余數(shù)只能為1．

點評：本題考查了關于質數(shù)與合數(shù)及帶余數(shù)除法的題目．一個整數(shù)除以m后，余數(shù)可能為0，1，…，m-1，共m個，將整數(shù)按除以m所得的余數(shù)分類，可以分成m類．如m=2時，余數(shù)只能為0與1，因此可以分為兩類，一類是除以2余數(shù)為0的整數(shù)，即偶數(shù)；另一類是除以2余數(shù)為1的整數(shù)，即奇數(shù)．同樣，m=3時，就可將整數(shù)分為三類，即除以3余數(shù)分別為0、1、2這樣的三類．通過余數(shù)是否相同來分類是一種重要的思想方法，有著廣泛的應用．