Question

（2011•臺(tái)州模擬）在□ABCD中，已知AB=5，BC=2

2

，∠A=45°，以AB所在直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，將□ABCD繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到□OEFG（圖1）
（1）直接寫出C﹑F兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）沿x軸的負(fù)半軸以1米/秒的速度平行移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)后x秒（圖2），□ABCD與□OEFG重疊部分的面積為y，當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到□OEFG的內(nèi)部時(shí)，求y與x之間的關(guān)系式．
（3）若□ABCD與□OEFG同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)，分別沿x軸、y軸的負(fù)半軸以1米/秒的速度平行移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)后x秒（如圖3），□ABCD與□OEFG重疊部分的面積為y，當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到□O'EFG的內(nèi)部時(shí)，求y與x之間的關(guān)系式，并求出重疊部分面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理和坐標(biāo)知識(shí)可求出C，F(xiàn)的坐標(biāo)．
（2）因?yàn)椤螪AB=∠GOA=45°，以及重疊部分的面積可用四邊形AOHD和三角形AOF的面積來表示出來，從而可求出解析式．
（3）先求出表示面積的解析式，然后根據(jù)函數(shù)的最值求解．

解答：解：（1）C（7，2），F(xiàn) （-2，7）（4分）（2）設(shè)AD、DC分別與OG、OE交于點(diǎn)F、H
∵∠DAB=∠GOA=45°S_?OHDF=S_?AOHD-S_△AOF
∴OF=AF=

2

2

OA=

2

2

x，OH=2，DH=x-2
即y=

1

2

(DH+AO)•OH-

1

2

AF•?OFy=

1

2

(x+x-2)•×2-

1

2

×(

2 x

2

)2=-

1

4

x2+2x-2（2＜x＜4）（8分）
（3）①當(dāng)2＜x≤3時(shí)，DE=x-2，OA=x，
∴y=

1

2

(x+x-2)×2-

1

2

(x-2)2
y=-

1

2

x2+4x-4=-

1

2

(x-4)2+4
當(dāng)x=3時(shí)，y_max=4-

1

2

=

7

2

∴移動(dòng)后3秒時(shí)，重疊部分面積的最大值是

7

2

（11分）
②當(dāng)3＜x＜4時(shí)，延長(zhǎng)CD與FG交于點(diǎn)Q，
QM=DQ=QN-MN，即QM=DQ=2-（x-2）=4-x
PJ=EJ=x+2-5=x-3，
∴y=2×2-

1

2

(4-x)2-

1

2

(x-3)2y=-x²+7x-

17

2

=-(x-

7

2

)2+

15

4

當(dāng)x=

7

2

時(shí)，ymax=

15

4

∴移動(dòng)后

7

2

秒時(shí)，重疊部分面積的最大值是

15

4

（13分）
綜上①②所述，同時(shí)從O點(diǎn)移動(dòng)

7

2

秒時(shí)，重疊部分面積的最大值是

15

4

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)和最值的求法以及平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．