Question

19．已知四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=8cm，以A，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等邊三角形，以A，C，D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)直角三角形，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 首先對(duì)圖形進(jìn)行分析，當(dāng)∠ADC=90°和當(dāng)ACD=90°，所畫圖形不同，再利用勾股定理可以求出三角形ABC的面積，再利用解直角三角形的知識(shí)求出AD，CD，從而得出三角形面積，從而得出答案．

解答 解：①如圖1，作AE⊥BC于點(diǎn)E，
當(dāng)∠ADC=90°，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=BC=8，
∴EC=4，
∴AE=4$\sqrt{3}$，
∠BAC=60°，
∵∠BAD=90，
∴∠CAD=90°-60°=30°，
在Rt△ACD中，
CD=$\frac{1}{2}$AC=4，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×BC×AE+$\frac{1}{2}$CD×AD，
=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×8+$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×4，
=20$\sqrt{3}$；
②如圖2，當(dāng)∠ACD=90°，
∵AC=8，∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴tan30°=$\frac{CD}{AC}$，
解得：CD=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×BC×AE+$\frac{1}{2}$CD×AC，
=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×8+$\frac{1}{2}$×$\frac{8\sqrt{3}}{3}$×8，
=$\frac{80\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了勾股定理與解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)已知進(jìn)行分類討論得出兩種情況，這種思想經(jīng)常運(yùn)用與數(shù)學(xué)運(yùn)算與證明，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握此知識(shí)．