Question

【題目】已知，，，斜邊，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖1，連接．

（1）填空：　　；

（2）如圖1，連接，作，垂足為，求的長(zhǎng)度；

（3）如圖2，點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上運(yùn)動(dòng)，沿路徑勻速運(yùn)動(dòng)，沿路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為1.5單位秒，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為1單位秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為，求當(dāng)為何值時(shí)取得最大值？最大值為多少？

Answer 1

【答案】（1）60；（2）；（3）x時(shí)，y有最大值，最大值．

【解析】

（1）只要證明△OBC是等邊三角形即可；

（2）求出△AOC的面積，利用三角形的面積公式計(jì)算即可；

（3）分三種情形討論求解即可解決問題：①當(dāng)0＜x時(shí)，M在OC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過點(diǎn)N作NE⊥OC且交OC于點(diǎn)E．②當(dāng)x≤4時(shí)，M在BC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)．③當(dāng)4＜x≤4.8時(shí)，M、N都在BC上運(yùn)動(dòng)，作OG⊥BC于G．

（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：OB＝OC，∠BOC＝60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠OBC＝60°．

故答案為：60．

（2）如圖1中。

∵OB＝4，∠ABO＝30°，

∴OAOB＝2，ABOA＝2，

∴S△AOCOAAB2×2．

∵△BOC是等邊三角形，

∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°，

∴AC，

∴OP．

（3）①當(dāng)0＜x時(shí)，M在OC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過點(diǎn)N作NE⊥OC且交OC于點(diǎn)E．

則NE＝ONsin60°x，

∴S△OMNOMNE1.5xx，

∴yx2，

∴x時(shí)，y有最大值，最大值．

②當(dāng)x≤4時(shí)，M在BC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)．

作MH⊥OB于H．

則BM＝8﹣1.5x，MH＝BMsin60°（8﹣1.5x），

∴yON×MHx2+2x．

當(dāng)x時(shí)，y取最大值，y，

③當(dāng)4＜x≤4.8時(shí)，M、N都在BC上運(yùn)動(dòng)，

作OG⊥BC于G．MN＝12﹣2.5x，OG＝AB＝2，

∴yMNOG＝12x，

當(dāng)x＝4時(shí)，y有最大值，最大值＝2．

綜上所述：y有最大值，最大值為．