Question

【題目】如圖，中，，以為直徑的交于點，交于點，過點作于點，交的延長線于點.

（1）求證：是的切線；

（2）已知，，求和的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】（1）連接OD，AD，由圓周角定理可得AD⊥BC，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)知BD=CD，再根據(jù)OA=OB知OD∥AC，從而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得證；

（2）連接BE．BE∥GF，推出△AEB∽△AFG，可得，由此構(gòu)建方程即可解決問題；

（1）如圖，連接OD，AD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

又∵OA=OB，

∴OD∥AC，

∵DG⊥AC，

∴OD⊥FG，

∴直線FG與⊙O相切，即DF是⊙O的切線；

（2）如圖，連接BE．∵BD=2，

∴CD＝BD＝2，

∵CF=2，

∴DF==4，

∴BE=2DF=8，

∵cos∠C=cos∠ABC，

∴，

∴，

∴AB=10，

∴AE=，

∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴BE∥GF，

∴△AEB∽△AFG，

∴，

∴，

∴BG=．