Question

如圖所示，AD是⊙O的直徑，AB、CD與⊙O相切于點A和點D．
（1）若BC也與⊙O相切，求證：OB⊥OC；
（2）若OB⊥OC，求證：BC也與⊙O相切；
（3）在（1）的條件下，若AD=12cm，設(shè)AB=x，CD=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）證明兩個銳角的和等于90°即可；
（2）如圖2，過O作OE垂直于CD，根據(jù)梯形的面積公式表示出梯形ABCD的面積，由O為AD的中點，將AD換為2OA，變形得到S_梯形ABCD=2（S_△OAB+S_△ODC），又S_梯形ABCD=S_△OAB+S_△OCD+S_△OBC，得到S_△OBC=S_△OAB+S_△OCD，而△OAB與△OCD都為直角三角形，分別利用三角形的面積公式表示后，根據(jù)AB+CD=BC，得到OA=OE，又OA為圓O的半徑，故得到BC過半徑OE的端點E，且與半徑OE垂直，進(jìn)而確定出BC為圓O的切線；
（3）如圖1，過點B作BF⊥CD于F，構(gòu)建矩形ABFD．設(shè)BC與圓O的切點是點E，連接OE．根據(jù)切線長定理得到AB=BE=x，CE=CD=y，則在直角△BFC中，利用勾股定理得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：（1）證明：如圖1，
∵AB∥CD，∠BAD=90°，以AD為直徑的半圓O與BC相切，
∴AB，BC，CD均與半圓O相切，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
又∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=180°．
∴∠2+∠4=90°，
∴∠BOC=180°-（∠2+∠4）=180°-90°=90°，
即OB⊥OC；

（2）證明：如圖2，過點O作OE⊥CD于E．
∵S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）•AD=（AB+CD）•OA=2（

1

2

AB•OA+

1

2

CD•OD）=2（S_△OAB+S_△OCD），
且S_梯形ABCD=S_△OAB+S_△OCD+S_△OBC，
∴S_△OBC=S_△OAB+S_△OCD，且OA=OD，
∴

1

2

BE•OE+

1

2

CE•OE=

1

2

AB•OA+

1

2

CD•OA=

1

2

（AB+CD）•OA=

1

2

BC•OE，
又∵AB+CD=BC，
∴OA=OE，
∴E點在以AD為直徑的⊙O上，又OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切線，即BC與⊙O相切；

（3）解：如圖1，過點B作BF⊥CD于F，設(shè)BC與圓O的切點是點E，連接OE．則四邊形ABFD是矩形．
∵AB、CD、BC均與圓O相切，
∴AB=BE=x，CE=CD=y，
∴在直角△BFC中，BC²=FC²+BF²，即（x+y）²=（y-x）²+12²，
∴y=

38

x

，即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=

38

x

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)與判定，勾股定理，以及梯形、三角形面積的計算，其中作出相應(yīng)的輔助線是解本題的關(guān)鍵．