Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角三角形AOB的頂點(diǎn)A、B分別落在坐標(biāo)軸上．O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，8）．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)．沿OA向終點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向終點(diǎn)B以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）當(dāng)t=3秒時(shí)．直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，并求出經(jīng)過(guò)O、A、N三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）在此運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△MNA的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△MNA是一個(gè)等腰三角形？

 

Answer 1

【答案】

解：（1）N（3，4）。

                ∵A（6，0）

∴可設(shè)經(jīng)過(guò)O、A、N三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=ax（x﹣6），則將N（3，4）代入得

4=3a（3﹣6），解得a=﹣。

 

 

∴拋物線的解析式：。

（2）存在。過(guò)點(diǎn)N作NC⊥OA于C，

由題意，AN=t，AM=OA﹣OM=6﹣t，

∴NC=NA•sin∠BAO=。

∴。

∴△MNA的面積有最大值，且最大值為6。

（3）在Rt△NCA中，AN=t，NC=AN•sin∠BAO=，AC=AN•cos∠BAO=t。

  ∴OC=OA﹣AC=6﹣t�！郚（6﹣t，）。

∴。

又AM=6﹣t且0＜t＜6，

①當(dāng)MN=AN時(shí)，，即t²﹣8t+12=0，解得t₁=2，t₂=6（舍去）。

②當(dāng)MN=MA時(shí)，，即，解得t₁=0（舍去），t₂=。

③當(dāng)AM=AN時(shí)，6﹣t=t，即t=。

綜上所述，當(dāng)t的值取 2或或 時(shí)，△MAN是等腰三角形。

【解析】二次函數(shù)綜合題，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義，二次函數(shù)的最值，等腰三角形的性質(zhì)。

（1）由A、B的坐標(biāo)，可得到OA=6，OB=8，根據(jù)勾股定理可得AB=10。

當(dāng)t=3時(shí)，AN=t=5=AB，即N是AB的中點(diǎn)，由此得到點(diǎn)N的坐標(biāo)N（3，4）。

利用待定系數(shù)法，設(shè)交點(diǎn)式求出拋物線的解析式。

（2）△MNA中，過(guò)N作MA邊上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表達(dá)式，而AM=OA-OM，由三角形的面積公式可得到關(guān)于S_△MNA關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的最值原理即可求出△MNA的最大面積。

（3）首先求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出AM、MN、AN三邊的長(zhǎng)。由于△MNA的腰和底不確定，若該三角形是等腰三角形，可分三種情況討論：①M(fèi)N=NA、②MN=MA、③NA=MA；直接根據(jù)等量關(guān)系列方程求解即可。