Question

如圖，圓M與x軸相交于A，B兩點，其坐標(biāo)分別為A（-3，0），B（1，0），直徑CD垂直于x軸于N，直線CE切圓M于C，直線FG切圓M于F，交CE于G，已知點G的橫坐標(biāo)為3，
（1）若拋物線y=-x²-2x+m經(jīng)過A，B，D三點，求m的值及點D的坐標(biāo)；
（2）求直線DF的解析式；
（3）是否存在過點G的直線，使它與（1）中拋物線的兩個交點的橫坐標(biāo)之和等于4？若存在，請求出滿足條件的直線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=-x²-2x+m過點A，B兩點，
∴-3×1=-m，
∴拋物線為y=-x²-2x+3，
又∵拋物線過點D，由圓的對稱性知點D為拋物線的頂點，
∴D點坐標(biāo)為（-1，4）．

（2）由題意知AB=4，
∵CD⊥x軸，
∴NA=NB=2，
∴ON=1，
由相交弦定理得NA•NB=ND•NC，
∴NC×4=2×2，NC=1，
∴C的坐標(biāo)為（-1，-1），
設(shè)直線DF交CE于P，連接CF，得∠CFP=90°，
∵CG，F(xiàn)G為圓M的切線，
∴FG=GC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠FPC，
∴FG=GP，
∴GC=GP，
可得CP=8，
∴P點的坐標(biāo)為（7，-1）；
設(shè)直線DF的解析式為y=kx+b（k≠0），
則
解得
∴直線DF的解析式為y=-x+；

（3）假設(shè)存在過G的直線y=k₁x+b₁，
則3k₁+b₁=-1，
∴b₁=-3k₁-1，
解方程組，
得x²+（2+k₁）x-3k₁-4=0，
由題意得-2-k₁=4，
∴k₁=-6，
∴△=-40＜0，
∴方程無實數(shù)根，
∴方程組無實數(shù)解；
∴滿足條件的直線不存在．
分析：（1）將A或B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)m的值，進(jìn)而可求得拋物線的頂點坐標(biāo)；根據(jù)圓和拋物線的對稱性知，點D即為拋物線的頂點，由此得解．
（2）已知了點D的坐標(biāo)，需求出直線DF上另一點的坐標(biāo)；根據(jù)A、B、D的坐標(biāo)，可求得AN、BN、DN的長，根據(jù)相交弦定理知：DN•NC=AN•BN，由此可求得NC的長，即可得到點C的坐標(biāo)和直線CE的解析式，設(shè)直線DF與直線CE的交點為E，連接CF，根據(jù)圓周角定理可知△CFP是直角三角形，而CG、CF同為⊙M的切點，即CG=GF，所以點G即為斜邊CP的中點，由此可得點P的坐標(biāo)，根據(jù)D、P的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求得直線DF的解析式．
（3）設(shè)出過點G的直線解析式，將點G坐標(biāo)代入其中，即可消去一個待定系數(shù)，然后聯(lián)立拋物線的解析式，若兩個函數(shù)的兩個交點橫坐標(biāo)和為4，那么聯(lián)立兩個函數(shù)解析式所得方程的兩根之和為4，可據(jù)此求出直線解析式中待定系數(shù)的值，然后再判斷方程的根的判別式是否大于0即可，若大于0，則說明存在符合條件的直線，反之則不存在．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圓和拋物線的對稱性、圓周角定理、相交弦定理、直角三角形的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法、根的判別式等知識，涉及知識面較廣，難度較大．