Question

如圖，已知一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)（k＞0）的圖象相交于A（1，）、B（-3，）兩點，且與x軸相交于點C．連接OA、OB．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）若點Q為反比例函數(shù)（k＞0）圖象上的動點，在x軸的正半軸上是否存在一點P，使得以P、Q、O為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A，B的坐標(biāo)代入解析式，利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）求得一次函數(shù)與x軸的交點，根據(jù)S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC即可求解；
（3）根據(jù)三角函數(shù)即可確定∠ACO=30°，判斷△OAC是底角為30°的等腰三角形，作QH⊥x軸，H為垂足，Rt△QOH中利用三角函數(shù)即可求得Q的坐標(biāo)．
取OP₁=2OH=，則∠QP₁O=30°．過點Q作∠P₂QO=30°，交x軸于點P₂，則△OP₂Q∽△COA．根據(jù)雙曲線的對稱性，故可將△AOC繞原點O旋轉(zhuǎn)180°，得到△Q′O P₃，由此可得點 Q′必在雙曲線左支上，點P₃在x軸正半軸上．即可求解．
解答：解：（1）∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于A、B兩點，
∴與，∴，．（3分）
∴所求一次函數(shù)的解析式是，
所求反比例函數(shù)的解析式是．（4分）

（2）解法（一）：由一次函數(shù)，令y=0，得x=-2．
∴點C的坐標(biāo)是（-2，0）．（5分）
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=（6分）=．（8分）
解法（二）：分別過點A、B作AE⊥x軸于E，BF⊥y軸于F，且分別延長相交于G，
∴S_△AOB=S_△ABG-S_△BOF-S_△AOE-S_矩形OFGE==（6分）=．（8分）

（3）設(shè)直線AC交y軸于點D，
∵，
∴．
在Rt△COD中，
∵tan∠DCO=，
∴∠DCO=30°，即∠ACO=30°．
在Rt△AOE中，
∵tan∠AOE=，
∴∠AOE=60°．∴∠OAC=∠AOE-∠ACO=30°．
∴△OAC是底角為30°的等腰三角形．（9分）
作∠QOX=30°與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象交于點Q，設(shè)Q（），
作QH⊥x軸，H為垂足，
在Rt△QOH中，tan30°=，∴m²=3，∴（取正數(shù)）
∴（10分）
取OP₁=2OH=，則∠QP₁O=30°．
∴△P₁QO∽△AOC．∴．（11分）
過點Q作∠P₂QO=30°，交x軸于點P₂，∴△OP₂Q∽△COA．
由∠QP₂H=60°，得，
∴P₂Q=．∴．（12分）
根據(jù)雙曲線的對稱性，故可將△AOC繞原點O旋轉(zhuǎn)180°，得到△Q′O P₃，由此可得點 Q′必在雙曲線左支上，點P₃在x軸正半軸上．
∴，P₃（2，0）．（14分）
綜上所述，所有符合條件的點的坐標(biāo)分別是，，P₃（2，0）．
點評：此題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，注意通過解方程組求出交點坐標(biāo)．同時要注意運用數(shù)形結(jié)合的思想．