Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，DP是⊙O的切線？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)DP為⊙O的切線時(shí)，求線段DP的長(zhǎng)．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，DP是⊙O的切線。理由如下：

連接AP。

∵AB=AC，∴。

又∵，∴。∴PA是⊙O的直徑。

∵，∴∠1=∠2。

又∵AB=AC，∴PA⊥BC。

又∵DP∥BC，∴DP⊥PA。∴DP是⊙O的切線。

（2）連接OB，設(shè)PA交BC于點(diǎn)E。．

 

 

由垂徑定理，得BE=BC=6。

在Rt△ABE中，由勾股定理，得：AE=。

設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=8﹣r，

在Rt△OBE中，由勾股定理，得：r²=6²+（8﹣r）²，解得r=。

∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D。

又∵∠1=∠1，∴△ABE∽△ADP，

∴，即，解得：。

【解析】圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，切線的判定，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。

【分析】（1）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，得出，得出PA是⊙O的直徑，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，問(wèn)題得證。

（2）利用切線的性質(zhì)，由勾股定理得出半徑長(zhǎng)，進(jìn)而得出△ABE∽△ADP，即可得出DP的長(zhǎng)。