如果一個點能與另外兩個點能構(gòu)成直角三角形,則稱這個點為另外兩個點的勾股點.例如:矩形ABCD中,點C與A、B兩點可構(gòu)成直角三角形ABC,則稱點C為A、B兩點的勾股點.同樣,點D也是A、B兩點的勾股點.

(1)在矩形ABCD中,AB=12,BC=6,邊CD上A,B兩點的勾股點的個數(shù)為
3
3
個;
(2)如圖1,矩形ABCD中,AB=12,BC=6,DP=4,DM=8,AN=5.過點P作直線l平行于BC,點H為M、N兩點的勾股點,且點H在直線l上,求PH的長;
(3)如圖2,矩形ABCD中,AB=12,BC=6,將紙片折疊,折痕分別與CD、AB交于點F、G,若A、E兩點的勾股點為BC邊的中點M,求折痕FG的長.
分析:(1)A,B兩點的勾股點有C、D,以及CD的中點;
(2)點H為M、N兩點的勾股點,則分∠HNM=90°,∠HMN=90°,∠MHN=90°三種情況進行討論,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得PH的長;
(3)A、E兩點的勾股點為BC邊的中點M,則應分∠AEM=90°和∠AME=90°兩種情況進行討論,當∠AEM=90°時,根據(jù)勾股定理可以得到AD2+DE2+CE2+CM2=BM2+AB2,設CE=x,即可得到關于x的方程,求得CE的長,然后利用勾股定理求得FG的長;
當∠AME=90°時,由題意得以AE為直徑的圓與BC切于點M,設CE=x,則AE=x+12,在Rt△ADE中利用勾股定理即可求得CE的長,從而求得FG的長.
解答:解:(1)A,B兩點的勾股點有C、D,以及CD的中點,共3個,
故答案是:3;
(2)當∠HNM=90°時,PH=
11
2
;
當∠HMN=90°時,PH=2;
當∠MHN=90°時,
4
PH
=
6-PH
1
,
PH=3±
5
;
(3)當∠AEM=90°時,AD2+DE2+CE2+CM2=AE2+EM2=AM2=BM2+AB2,
設CE=x,則62+(12-x)2+x2+32=32+122,
x=6±3
2

∵折痕分別與CD、AB交于點F、G,
x=6+3
2

當∠AME=90°時,由題意得以AE為直徑的圓與BC切于點M,設CE=x,AE=x+12,
在Rt△ADE中,6+(12-x)2=(12+x)2,
CE=
3
4
,∴DE=
45
4
,AE=
51
4
,
∵△ADE∽△FOE,
OF
6
=
51
8
45
4

OF=
17
5
,
FG=
34
5
點評:本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),以及勾股定理,正確根據(jù)相似三角形的性質(zhì)把求線段的長的問題轉(zhuǎn)化成方程問題是關鍵,體現(xiàn)了方程思想的應用.
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如果一個點能與另外兩個點能構(gòu)成直角三角形,則稱這個點為另外兩個點的勾股點.例如:矩形ABCD中,點C與A,B兩點可構(gòu)成直角三角形ABC,則稱點C為A,B兩點的勾股點.同樣,點D也是A,B兩點的勾股點.
(1)如圖1,矩形ABCD中,AB=2,BC=1,請在邊CD上作出A,B兩點的勾股點(點C和點D除外)(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法);
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(2)矩形ABCD中,AB=3,BC=1,直接寫出邊CD上A,B兩點的勾股點的個數(shù);
(3)如圖2,矩形ABCD中,AB=12,BC=4,DP=4,DM=8,AN=5.過點P作直線l平行于BC,點H為M,N兩點的勾股點,且點H在直線l上.求PH的長.
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(1)如圖1,矩形ABCD中,AB=3,BC=1,請在邊AB上作出C,D兩點的所有勾股點(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法).
(2)如圖2,矩形ABCD中,AB=12cm,BC=4cm,DM=8cm,AN=5cm.動點P從D點出發(fā)沿著DC方向以1cm/s的速度向右移動,過點P的直線l平行于BC,當點P運動到點M時停止運動.設運動時間為t(s),點H為M,N兩點的勾股點,且點H在直線l上.
①當t=4、t=5時,直接寫出點H的個數(shù).
②探究滿足條件的點H的個數(shù)(直接寫出點H的個數(shù)及相應t的取值范圍,不必證明).

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(2012•崇安區(qū)一模)如果一個點能與另外兩個點能構(gòu)成直角三角形,則稱這個點為另外兩個點的勾股點.例如:矩形ABCD中,點C與A,B兩點可構(gòu)成直角三角形ABC,則稱點C為A,B兩點的勾股點.同樣,點D也是A,B兩點的勾股點.

(1)如圖1,矩形ABCD中,AB=2,BC=1,請在邊CD上作出A,B兩點的勾股點(點C和點D除外)(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法).
(2)矩形ABCD中,AB=3,BC=1,直接寫出邊CD上A,B兩點的勾股點的個數(shù).
(3)如圖2,矩形ABCD中,AB=12cm,BC=4 cm,DM=8 cm,AN=5 cm.動點P從D點出發(fā)沿著DC方向以1 cm/s的速度向右移動,過點P的直線l平行于BC,當點P運動到點M時停止運動.設運動時間為t(s),點H為M,N兩點的勾股點,且點H在直線l上.
①當t=4時,求PH的長.
②探究滿足條件的點H的個數(shù)(直接寫出點H的個數(shù)及相應t的取值范圍,不必證明).

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1.如圖1,矩形ABCD中,AB=2,BC=1,請在邊CD上作出A,B兩點的勾股點(點C和點D除外)(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法);

2.矩形ABCD中,AB=3,BC=1,直接寫出邊CD上A, B兩點的勾股點的個數(shù);

3.如圖2,矩形ABCD中,AB=12,BC=4,DP=4,DM=8,AN=5.過點P作直線l平行于BC,點H為M,N兩點的勾股點,且點H在直線l上.求PH的長

 

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