Question

12．已知a，b，c是△ABC的三邊．并設(shè)二次函數(shù)為y=（a+b）x²+2cx-（a-b），當x=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)有最小值-$\frac{2}$．求證：△ABC為等邊三角形．

Answer 1

分析 利用二次函數(shù)的最值問題得到-$\frac{2c}{2（a+b）}$=-$\frac{1}{2}$，$\frac{-4（a+b）（a-b）-4{c}^{2}}{4（a+b）}$=-$\frac{2}$，去分母得到2c=a+b，2a²-3b²+2c²-ab=0，再消去c得到a²-b²=0，所以a=b，則a=b=c，于是可判斷△ABC為等邊三角形．

解答 證明：∵當x=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)有最小值-$\frac{2}$．
∴-$\frac{2c}{2（a+b）}$=-$\frac{1}{2}$，$\frac{-4（a+b）（a-b）-4{c}^{2}}{4（a+b）}$=-$\frac{2}$，
∴2c=a+b，2a²-3b²+2c²-ab=0，
∴2a²-3b²+2•（$\frac{a+b}{2}$）²-ab=0，
∴a²-b²=0，
∴a=b，
∴2c=2a，
即a=b=c，
∴△ABC為等邊三角形．

點評 本題考查了二次函數(shù)的最值：對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），當a＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當x=-$\frac{2a}$，y=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$；當a＜0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當x=-$\frac{2a}$，y=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$．也考查了等邊三角形的判定．