Question

14．已知△ABC，點D、F分別為線段AC、AB上兩點，連接BD、CF交于點E．
（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如圖1所示，試說明∠BAC+∠BEC=180°；
（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如圖2所示，試說明此時∠BAC與∠BEC的數(shù)量關(guān)系；
（3）在（2）的條件下，若∠BAC=60°，試說明：EF=ED．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DEC=∠BAC，由于∠DEC+∠BEC=180°，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠EBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠ECB=$\frac{1}{2}∠$ACB，于是得到結(jié)論；
（3）作∠BEC的平分線EM交BC于M，由∠BAC=60°，得到∠BEC=90°+$\frac{1}{2}∠$BAC=120°，求得∠FEB=∠DEC=60°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠BEM=60°，推出△FBE≌△EBM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EF=EM，同理DE=EM，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，
∴∠DCE+∠DEC=∠DCE+∠FAC=90°，
∴∠DEC=∠BAC，∠DEC+∠BEC=180°，
∴∠BAC+∠BEC=180°；

（2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠ECB=$\frac{1}{2}∠$ACB，∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=90°$+\frac{1}{2}$∠BAC；

（3）作∠BEC的平分線EM交BC于M，
∵∠BAC=60°，
∴∠BEC=90°+$\frac{1}{2}∠$BAC=120°，
∴∠FEB=∠DEC=60°，
∵EM平分∠BEC，
∴∠BEM=60°，
在△FBE與△EBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBE=∠EBM}\\{BE=BE}\\{∠FEB=∠MEB}\end{array}\right.$，
∴△FBE≌△EBM，
∴EF=EM，同理DE=EM，
∴EF=DE．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，垂直的定義，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．