Question

【題目】已知，如圖1，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，連接OC交對角線BD于點F，延長AO交BD于點E，OE=OF.

（1）求證：BE=FD；

（2）如圖2，若∠EOF=90°，BE=EF，⊙O的半徑，求四邊形ABCD的面積；

（3）如圖3，若AD=BC；

①求證：；②若，直接寫出CD的長.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）12；（3）①見詳解，②3-

【解析】

（1）如圖1中，作OH⊥BD于H．根據(jù)等腰三角形的性質以及垂徑定理即可；
（2）如圖2中，作OH⊥BD于H，連接OB，求出AC，BD，根據(jù)S四邊形ABCD=BDAM+

BDCM=BDAC即可求解；
（3）①如圖3中，連接OB，作OH⊥BD于H．利用等腰直角三角形的性質，完全平方公式等知識即可；
②如圖3中，連接OB，設DM=CM=x，想辦法求出BC，DB，在Rt△BCM中，利用勾股定理構建方程即可．

（1）證明：如圖1中，作OH⊥BD于H．

∵OE=OF，OH⊥EF，
∴EH=HF，
∵OH⊥BD，
∴BH=HD，
∴BE=DF；

（2）解：如圖2中，作OH⊥BD于H，連接OB．

∵∠EOF=90°，OE=OF，OA=OC，
∴∠OEF=∠OAC=45°，
∴∠AME=90°，即AC⊥BD，
連接OB．設OH=a，
∵BE=EF，
∴BE=2EH=2OH=2a，
在Rt△BOH中，∵OH2+BH2=OB2，

∴a2+（3a）2=（2）2，

∴a=或-（舍棄），
∴BD=BE+EF+DF=6a=6，
在Rt△AOC中，AC=AO=2，
∴S四邊形ABCD=BDAM+BDCM=BDAC=×2×6=12；

（3）①如圖3中，連接OB，作OH⊥BD于H．

∵OE=OF，OA=OC，
∴∠EOH=∠EOF=（∠EAC+∠ACO）=×2∠OAC=∠OAC，
∴AC∥OH，
∴AC⊥BD，
∵AD=BC，
∴∠ABD=∠CAB=∠CDB=45°，
∴AB=BM，CD=DM，CM=DM，
∴ABCD+BC2=BMDM+BM2+CM2=（BM+DM）2=BD2；

②如圖3中，連接OB，設DM=CM=x，
∵∠BOC=2∠BDC=90°，
∴BC=OB=2，
∵ABCD+BC2=BD2，ABCD=AO2=12，
∴12+24=BD2，
∴BD=6（負根已經舍棄），
在Rt△BCM中，∵BC2=BM2+CM2，
∴（2）2=（6-x）2+x2，
∴x=3-或3+（舍棄），
∴CD=x=3-．