Question

如圖，A、P、B、C是⊙O上的四點，∠APC=∠CPB=60°
（1）請判斷△ABC的形狀并證明你的結論；
（2）請給出一個能反映PA、PB和PC的數(shù)量關系的一個等式，并說明你給出的等式成立；
（3）若PA、PB的長是方程x²-4x+m=0的兩個相等的實數(shù)根，求⊙O的直徑長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),根與系數(shù)的關系,垂徑定理,圓周角定理

專題：

分析：（1）根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等可得∠ABC=∠APC，∠BAC=∠CPB，然后求出∠BAC=∠ABC=∠ACB，再根據(jù)三個角相等的三角形是等邊三角形判定；
（2）在PC上截取PD=AP，得到△APD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠PAD=60°，AP=AD，再求出∠PAB=∠DAC，然后利用“邊角邊”證明△APB和△ADC全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得PB=CD，然后根據(jù)PD+CD=PC等量代換即可得解；
（3）利用根與系數(shù)的關系求出方程的兩個相等實數(shù)根，再根據(jù)等腰三角形和垂徑定理判斷出PC是⊙O的直徑，然后利用（2）的結論求解即可．

解答：解：（1）△ABC是等邊三角形．
理由如下：∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等邊三角形．

（2）如圖，在PC上截取PD=AP，
∵∠APC=60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴∠PAD=60°，AP=AD，
∵∠PAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°，
∴∠PAB=∠DAC，
在△APB和△ADC中，

AB=AC ∠PAB=∠DAC AP=AD

，
∴△APB≌△ADC（SAS），
∴PB=CD，
∵PD+CD=PC，
∴PA+PB=PC；

（3）∵PA、PB的長是方程x²-4x+m=0的兩個相等的實數(shù)根，
∴PA=PB=-

-4

2×1

=2，
∵∠APC=∠CPB=60°，
∴PC垂直平分AB，
∴PC是⊙O的直徑，
∴⊙O的直徑長=PA+PB=2+2=4．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，根與系數(shù)的關系，難點在于（3）作輔助線構造成全等三角形是解題的關鍵．