Question

3．已知AB為⊙O的直徑，P為AB上一點(diǎn)，C，D為圓上兩點(diǎn)，且∠CPA=∠DPB，求證：C、D、P、O四點(diǎn)共圓．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)CP、DP分別交⊙O于E、F，連接BD、BF，作OM⊥DF與，ON⊥CE于N，由對(duì)頂角相等和已知條件得出∠BPE=∠DPB，由角平分線的性質(zhì)得出OM=ON，證出DF=CE，可得DM=FM=$\frac{1}{2}$DF，EN=CN=$\frac{1}{2}$CE，得出DM=EN，由HL證明Rt△OPM≌Rt△OPN，得出PM=PN，因此PD=PE，由SAS證明△PBD≌△PBE，得出BD=BE，證出$\widehat{BD}=\widehat{BE}$，由圓周角定理得出∠BOD=∠DCE，證出∠DCE+∠POD=180°，即可得出結(jié)論．

解答 證明：延長(zhǎng)CP、DP分別交⊙O于E、F，連接BD、BF、CD、OD，作OM⊥DF與，ON⊥CE于N，如圖所示：
∵∠CPA=∠BPE，∠FPA=∠DPB，∠CPA=∠DPB，
∴∠BPE=∠DPB，
∴OM=ON，
∴DF=CE，
∴DM=FM=$\frac{1}{2}$DF，EN=CN=$\frac{1}{2}$CE，
∴DM=EN，
在Rt△OPM和Rt△OPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴PM=PN，
∴PD=PE，
在△PBD和△PBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PE}&{\;}\\{∠BPD=∠BPE}&{\;}\\{PB=PB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PBD≌△PBE（SAS），
∴BD=BE，
∴$\widehat{BD}=\widehat{BE}$，
∴∠BOD=∠DCE，
∵∠BOD+∠POD=180°，
∴∠DCE+∠POD=180°，
∴C、D、P、O四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四點(diǎn)共圓的證法，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系等知識(shí)；由三角形全等證出BD=BE是解決問題的突破口．