Question

6．已知：如圖，正比例函數(shù)y=ax的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于點A（3，2）．
（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
（2）根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當x取何值時，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？
（3）M（m，n）是反比例函數(shù)圖象上的一動點，其中0＜m＜3，過M作直線MB‖x軸交y軸于點B．過點A作直線AC∥y軸交于點C，交直線MB于點D，當四邊形OADM的面積為6時，請判斷線段BM與DM的大小關(guān)系，并說明理由；
（4）探索：x軸上是否存在點P，使△OAP是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A（3，2）分別代入y=$\frac{k}{x}$，y=ax中，得a、k的值，進而可得正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
（2）觀察圖象，得在第一象限內(nèi)，當0＜x＜3時，反比例函數(shù)的圖象在正比例函數(shù)的上方；故反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值；
（3）由S_△OMB=S_△OAC=$\frac{1}{2}$×|k|=3，可得S_矩形OBDC=12，即OC•OB=12，進而可得m、n的值，故可得BM與DM的大��；比較可得其大小關(guān)系；
（4）先求出A點坐標，再分OA=OP，OA=AP及OP=AP三種情況進行討論．

解答 解：（1）∵將A（3，2）分別代入y=$\frac{k}{x}$，y=ax中，得：2=$\frac{k}{3}$，3a=2，
∴k=6，a=$\frac{2}{3}$，
∴反比例函數(shù)的表達式為：y=$\frac{6}{x}$，
正比例函數(shù)的表達式為y=$\frac{2}{3}$x．

（2）∵$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}x\\ y=\frac{6}{x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}\right.$，
∴C（3，2）
觀察圖象，得在第一象限內(nèi)，當0＜x＜3時，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值；

（3）BM=DM
理由：∵MN∥x軸，AC∥y軸，
∴四邊形OCDB是平行四邊形，
∵x軸⊥y軸，
∴?OCDB是矩形．
∵M和A都在雙曲線y=$\frac{6}{x}$上，
∴BM×OB=6，OC×AC=6，
∴S_△OMB=S_△OAC=$\frac{1}{2}$×|k|=3，
又∵S_{四邊形OADM}=6，
∴S_矩形OBDC=S_{四邊形OADM}+S_△OMB+S_△OAC=3+3+6=12，
即OC•OB=12，
∵OC=3，
∴OB=4，
即n=4
∴m=$\frac{6}{n}$=$\frac{3}{2}$，
∴MB=$\frac{3}{2}$，MD=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴MB=MD；

（4）如圖，∵S_△OAC=$\frac{1}{2}$OC•AC=3，OC=3，
∴AC=2，
∴A（3，2），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴當OA=OP時，P₁（$\sqrt{13}$，0）；
當OA=AP時，
∵AC⊥x軸，OC=3，
∴OC=CP₂=3，
∴P₂（6，0）；
當OP=AP時，設(shè)P₃（x，0），
∵O（0，0），A（3，2），
∴x=$\sqrt{（x-3）^{2}+{2}^{2}}$，解得x=$\frac{13}{6}$，
∴P₃（$\frac{13}{6}$，0）．
綜上所述，P點坐標為P₁（$\sqrt{13}$，0），P₂（6，0），P₃（$\frac{13}{6}$，0）．

點評 此題考查的是反比例函數(shù)綜合題及正比例函數(shù)等多個知識點，此題難度稍大，綜合性比較強，在解答（3）時要注意進行分類討論，不要漏解．