Question

【題目】如圖1，若拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點(diǎn)B也在拋物線L1上（點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合）我們把這樣的兩拋物線L1、L2互稱為“友好”拋物線，可見(jiàn)一條拋物線的“友好”拋物線可以有很多條．

（1）如圖2，已知拋物線L3：y=2x2-8x+4與y軸交于點(diǎn)C，試求出點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）請(qǐng)求出以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的L3的“友好”拋物線L4的解析式，并指出L3與L4中y同時(shí)隨x增大而增大的自變量的取值范圍；

（3）若拋物y=a1（x-m）2+n的任意一條“友好”拋物線的解析式為y=a2（x-h）2+k，請(qǐng)寫出a1與a2的關(guān)系式，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（4，4）；（2）2≤x≤4；（3）a1=-a2，理由如下：見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)x＝0，求出y的值，即可得到C的坐標(biāo)，把拋物線L3：y＝2x28x＋4配方即可得到拋物線的對(duì)稱軸，由此可求出點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）由（1）可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，4），再由條件以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的L3的“友好”拋物線L4的解析式，可求出L4的解析式，進(jìn)而可求出L3與L4中y同時(shí)隨x增大而增大的自變量的取值范圍；

（3）根據(jù)：拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點(diǎn)B也在拋物線L1上，可以列出兩個(gè)方程，相加可得：（a1＋a2）（mh）2＝0，可得a1＝a2.

解：（1）∵拋物線L3：y=2x2-8x+4，

∴y=2（x-2）2-4，

∴頂點(diǎn)為（2，4），對(duì)稱軸為x=2，

設(shè)x=0，則y=4，

∴C（0，4），

∴點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（4，4）；

（2）∵以點(diǎn)D（4，4）為頂點(diǎn)的拋物線L4過(guò)點(diǎn)（2，-4），

設(shè)L4的解析式，

將點(diǎn)（2，-4）代入L4可得，a=-2，

∴L4的解析式為y=-2（x-4）2+4，

L3與L4的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（4，4）和（2，-4）

∴L3與L4中y同時(shí)隨x增大而增大的自變量的取值范圍是：2≤x≤4時(shí)；

（3）a1=-a2，

理由如下：

∵拋物線L1的頂點(diǎn)A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點(diǎn)B也在拋物線L1上，

∴可以列出兩個(gè)方程，

①+②得：（a1+a2）（m-h）2=0，

∴a1=-a2．