【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,AD垂直于過(guò)點(diǎn)C的切線,垂足為D,CE垂直AB,垂足為E.延長(zhǎng)DA交⊙O于點(diǎn)F,連接FC,F(xiàn)CAB相交于點(diǎn)G,連接OC.

(1)求證:CD=CE;

(2)若AE=GE,求證:△CEO是等腰直角三角形.

【答案】證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)連接AC,根據(jù)切線的性質(zhì)和已知得:AD∥OC,得∠DAC=∠ACO,根據(jù)AAS證明△CDA≌△CEA(AAS),可得結(jié)論;
(2)介紹兩種證法:
證法一:根據(jù)△CDA≌△CEA,得∠DCA=∠ECA,由等腰三角形三線合一得:∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG,在直角三角形中得:∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°,可得結(jié)論;
證法二:設(shè)∠F=x,則∠AOC=2∠F=2x,根據(jù)平角的定義得:∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°,則3x+3x+2x=180,即得出結(jié)論.

證明:(1)連接AC,

CD是⊙O的切線,

OCCD,

ADCD,

∴∠DCO=D=90°,

ADOC,

∴∠DAC=ACO,

OC=OA,

∴∠CAO=ACO,

∴∠DAC=CAO,

CEAB,

∴∠CEA=90°,

在△CDA和△CEA中,

,

∴△CDA≌△CEA(AAS),

CD=CE;

(2)證法一:連接BC,

∵△CDA≌△CEA,

∴∠DCA=ECA,

CEAG,AE=EG,

CA=CG,

∴∠ECA=ECG,

AB是⊙O的直徑,

∴∠ACB=90°,

CEAB,

∴∠ACE=B,

∵∠B=F,

∴∠F=ACE=DCA=ECG,

∵∠D=90°,

∴∠DCF+∠F=90°,

∴∠F=DCA=ACE=ECG=22.5°,

∴∠AOC=2F=45°,

∴△CEO是等腰直角三角形;

證法二:設(shè)∠F=x,則∠AOC=2F=2x,

ADOC,

∴∠OAF=AOC=2x,

∴∠CGA=OAF+∠F=3x,

CEAG,AE=EG,

CA=CG,

∴∠EAC=CGA,

CEAG,AE=EG,

CA=CG,

∴∠EAC=CGA,

∴∠DAC=EAC=CGA=3x,

∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°,

3x+3x+2x=180,

x=22.5°,

∴∠AOC=2x=45°,

∴△CEO是等腰直角三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖8,AB兩地之間有一座山,以前從A地到B地需要經(jīng)過(guò)C.現(xiàn)在政府出資打通了一條山嶺隧道,使從A地到B地可沿直線AB直接到達(dá).已知BC=8km,∠A=45°,∠B=53°.

(1)求點(diǎn)C到直線AB的距離;

(2)求現(xiàn)在從A地到B地可比原來(lái)少走多少路程?(結(jié)果精確到0.1km;參考數(shù)據(jù):≈1.41,sin53°≈0.80,cos53°≈0.60)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為

1)如圖1,若點(diǎn)B x軸正半軸上,點(diǎn),,求點(diǎn)B坐標(biāo);

2)如圖2,若點(diǎn)B x軸負(fù)半軸上,軸于點(diǎn)E,軸于點(diǎn)F,,MF交直線AE于點(diǎn)M,若點(diǎn),BM=5,求點(diǎn)M坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知AB是⊙O的直徑,弦CDABH,過(guò)CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于F,切點(diǎn)為G,連接AGCDK

1)如圖1,求證:KE=GE;

2)如圖2,連接CABG,若∠FGB=ACH,求證:CAFE;

3)如圖3,在(2)的條件下,連接CGAB于點(diǎn)N,若sinE=,AK=,求CN的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】滿足下列條件的三角形中,不是直角三角形的是( )

A.A-B=CB.A:∠B:∠C=3 4 7

C.A=2B=3CD.A=9°,∠B=81°

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】閱讀理解:數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對(duì)象,我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合,樹(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題,小明在求同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間的距離時(shí)發(fā)現(xiàn),對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)P1x1,y1),P2x2,y2),可通過(guò)構(gòu)造直角三角形利用圖1得到結(jié)論:P1P2=,他還利用圖2證明了線段P1P2的中點(diǎn)Px,y),P的坐標(biāo)公式:x=,y=

啟發(fā)應(yīng)用:

如圖3:在平面直角坐標(biāo)系中,已知A80),B0,6),C1,7),M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)A,B,

1)求⊙M的半徑及圓心M的坐標(biāo);

2)判斷點(diǎn)C與⊙M的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;

3)若∠BOA的平分線交AB于點(diǎn)N,交⊙M于點(diǎn)E,分別求出OE的表達(dá)式y1,過(guò)點(diǎn)M的反比例函數(shù)的表達(dá)式y2,并根據(jù)圖象,當(dāng)y2y10時(shí),請(qǐng)直接寫出x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】拋物線y=ax2+bx+cx軸于A(﹣1,0),B(3,0),交y軸的負(fù)半軸于C,頂點(diǎn)為D.下列結(jié)論:①2a+b=0;②2c<3b;③當(dāng)m≠1時(shí),a+b<am2+bm;④當(dāng)△ABD是等腰直角三角形時(shí),則a= ;⑤當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí),a的值有3個(gè).其中正確的有( 。﹤(gè)

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】BD、CE分別是ABC的邊AC、AB上的高,PBD的延長(zhǎng)線上,且BP=AC,點(diǎn)QCE上,CQ=AB,

求證:(1AP=AQ ;

2APAQ

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,將ABC紙片沿DE折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,且A′B平分∠ABC,A′C平分∠ACB,若∠BA′C=110°,則∠1+2=_____

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案