Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c關(guān)于y軸對稱，它的頂點在坐標原點O，點B（2，﹣）和點C（﹣3，﹣3）兩點均在拋物線上，點F（0，﹣）在y軸上，過點（0，）作直線l與x軸平行．

（1）求拋物線的解析式和線段BC的解析式．

（2）設(shè)點D（x，y）是線段BC上的一個動點（點D不與B，C重合），過點D作x軸的垂線，與拋物線交于點G．設(shè)線段GD的長度為h，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當x為何值時，線段GD的長度h最大，最大長度h的值是多少？

（3）若點P（m，n）是拋物線上位于第三象限的一個動點，連接PF并延長，交拋物線于另一點Q，過點Q作QS⊥l，垂足為點S，過點P作PN⊥l，垂足為點N，試判斷△FNS的形狀，并說明理由；

（4）若點A（﹣2，t）在線段BC上，點M為拋物線上的一個動點，連接AF，當點M在何位置時，MF+MA的值最小，請直接寫出此時點M的坐標與MF+MA的最小值．

Answer 1

解答：

解：（1）如圖1， ∵拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱，它的頂點在坐標原點O， ∴拋物線解析式為y=ax2． ∵點C（﹣3，﹣3）在拋物線y=ax2上， ∴.9a=﹣3． ∴a=﹣． ∴拋物線的解析式為y=﹣x2． 設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n． ∵B（2，﹣）、C（﹣3，﹣3）在直線y=mx+n上， ∴． 解得：． ∴直線BC的解析式為y=x﹣2． （2）如圖2， ∵點D（x，y）是線段BC上的一個動點（點D不與B，C重合）， ∴yD=x﹣2，且﹣3＜x＜2． ∵DG⊥x軸， ∴xG=xD=x． ∵點G在拋物線y=﹣x2上， ∴yG=﹣x2． ∴h=DG=yG﹣yD =﹣x2﹣（x﹣2） =﹣x2﹣x+2 =﹣（x2+x）+2 =﹣（x2+x+﹣）+2 =﹣（x+）2++2 =﹣（x+）2+． ∵﹣＜0，﹣3＜﹣＜2， ∴當x=﹣時，h取到最大值，最大值為． ∴h與x之間的函數(shù)關(guān)系式為h=﹣（x+）2+，其中﹣3＜x＜2； 當x=﹣時，線段GD的長度h最大，最大長度h的值是． （3）△FNS是直角三角形． 證明：過點F作FT⊥PN，垂足為T，如圖3， ∵點P（m，n）是拋物線y=﹣x2上位于第三象限的一個動點， ∴n=﹣m2．m＜0，n＜0． ∴m2=﹣3n． 在Rt△PTF中， ∵PT=﹣﹣n，F(xiàn)T=﹣m， ∴PF= = = = =﹣n． ∵PN⊥l，且l是過點（0，）平行于x軸的直線， ∴PN=﹣n． ∴PF=PN． ∴∠PNF=∠PFN． ∵PN⊥l，OF⊥l， ∴PN∥OF． ∴∠PNF=∠OFN． ∴∠PFN=∠OFN． 同理可得：∠QFS=∠OFS． ∵∠PFN+∠OFN+∠OFS+∠QFS=180°， ∴2∠OFN+2∠OFS=180°． ∴∠OFN+∠OFS=90°． ∴∠NFS=90°． ∴△NFS是直角三角形． （4）過點M作MH⊥l，垂足為H，如圖4， 在（3）中已證到PF=PN，由此可得：拋物線y=﹣x2上的點到點F（0，﹣）的距離與到直線y=的距離相等． ∴MF=MH． ∴MA+MF=MA+MH． 由兩點之間線段最短可得： 當A、M、H三點共線（即AM⊥l）時，MA+MH（即MA+MF）最小，等于AH． 即xM=xA=﹣2時，MA+MF取到最小值． 此時，yM=﹣×（﹣2）2=﹣，點M的坐標為（﹣2，﹣）； yA=×（﹣2）﹣2=﹣，點A的坐標為（﹣2，﹣）； MF+MA的最小值=AH=﹣（﹣）=． ∴當點M的坐標為（﹣2，﹣）時，MF+MA的值最小，最小值為．