(2008•常德)如圖,已知四邊形ABCD是矩形,且MO=MD=4,MC=3.
(1)求直線BM的解析式;
(2)求過(guò)A、M、B三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(3)在(2)中的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PMB構(gòu)成以BM為直角邊的直角三角形?若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由;若有,則求出一個(gè)符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)(2)根據(jù)MO=MD=4,MC=3就可以求出A、M、B三點(diǎn)的作坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線BM的解析式與拋物線的解析式.
(3)過(guò)M、B作MB的垂線,它與拋物線的交點(diǎn)即為P點(diǎn),因而符合條件的P點(diǎn)是存在的.當(dāng)∠PMB=90°時(shí),過(guò)P作PH⊥DC交于H,則
易證△MPH∽△BMC,得到PH:HM=CM:CB=3:4,因而可以設(shè)HM=4a(a>0),則PH=3a,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4a,4-3a).
將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-x2-x+4就可以求出a的值,進(jìn)而求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵M(jìn)O=MD=4,MC=3,
∴M、A、B的坐標(biāo)分別為(0,4),(-4,0),(3,0)
設(shè)BM的解析式為y=kx+b;
,
∴BM的解析式為y=-x+4.(3分)

(2)方法一:
設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(4分)
,
解得a=b=-,c=4
∴y=-x2-x+4(6分)
方法二:
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+4)(x-3)(4分)
將M(0,4)的坐標(biāo)代入得a=-
∴y=-(x+4)(x-3)=-x2-x+4(6分)

(3)設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P,使△PMB構(gòu)成直角三角形.(7分)
①過(guò)M作MB的垂線與拋物線交于P,過(guò)P作PH⊥DC交于H,
∴∠PMB=90°,
∴∠PMH=∠MBC,
∴△MPH∽△BMC,(8分)
∴PH:HM=CM:CB=3:4
設(shè)HM=4a(a>0),則PH=3a
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4a,4-3a)
將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-x2-x+4得:
4-3a=-(-4a)2-×(-4a)+4
解得a=0(舍出),,(9分)
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為()(10分)
②或者,拋物線上存在點(diǎn)P,使△PMB構(gòu)成直角三角形.(7分)
過(guò)M作MB的垂線與拋物線交于P,設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y),
由∠PMB=90°,∠PMD=∠MBC,
過(guò)P作PH⊥DC交于H,則MH=-x,PH=4-y(8分)
∴由tan∠PMD=tan∠MBC
,
(9分)
,x=0(舍出)
,
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為()(10分)
類似的,如果過(guò)B作BM的垂線與拋物線交于點(diǎn)P,
設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y),
同樣可求得,
=,x=3(舍出)
這時(shí)P的坐標(biāo)為().
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.是函數(shù)與相似三角形相結(jié)合的綜合題.
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(1)旋轉(zhuǎn):將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,請(qǐng)你在圖中作出旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)圖形△A1B1C,并求出AB1的長(zhǎng)度;
(2)翻折:將△A1B1C沿過(guò)點(diǎn)B1且與直線l垂直的直線翻折,得到翻折后的對(duì)應(yīng)圖形△A2B1C1,試判定四邊形A2B1DE的形狀并說(shuō)明理由;
(3)平移:將△A2B1C1沿直線l向右平移至△A3B2C2,若設(shè)平移的距離為x,△A3B2C2與直角梯形重疊部分的面積為y,當(dāng)y等于△ABC面積的一半時(shí),x的值是多少.

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