【題目】已知:在△PAB的邊PA、PB上分別取點C、D,連接CD使CD∥AB.將△PCD繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△PC′D′(∠APC′<∠APB),連接AC′、BD′.
(1)如圖1, 若∠APB=90°,PA=PB,求證:AC′=BD′;AC′⊥BD′.
(2)在圖1中,連接AD′、BC′,分別取AB、AD′、C′D′、BC′的中點E、F、G、H,順次連接E、F、G、H得到四邊形EFGH.請判斷四邊形EFGH的形狀,并說明理由.
(3)①如圖2, 若改變(1)中∠APB的大小,使0°<∠APB<90°,其他條件不變,重復(2)中操作.請你直接判斷四邊形EFGH的形狀.
②如圖3,若改變(1)中PA、PB的大小關系,使PA<PB,其他條件不變,重復(2)中操作,請你直接判斷是四邊形EFGH的形狀.
【答案】
(1)
解:延長AC′交BD′于點M,
∵∠APB=90°,
∴∠PAB+∠PBA=90°.
∵PA=PB,
∴∠PAB=∠PBA.
∵CD∥AB,
∴∠PCD=∠PAB,∠PBA=∠PDC,
∴∠PCD=∠PDC,
∴PC=PD.
∵將△PCD繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△PC′D′,
∴∠APB=∠C′PD′,PC′=PC,PD′=PD.
∴∠APB﹣∠C′PB=∠C′PD′﹣∠C′PB,PC′=PD′.
∴∠APC′=∠BPD′.
在△AC′P和△BD′P中,
,
∴△AC′P≌△BD′P(SAS),
∴AC′=BD′,∠PAC′=∠PBD′.
∵∠PAC′+∠BAC′+∠ABP=90°,
∴∠BAC′+∠ABP+∠PBD′=90°,
∴∠MAB+∠ABM=90°,
∴∠AMB=90°,
∴AC′⊥BD′.
∴AC′=BD′;AC′⊥BD′;
(2)
解:四邊形EFGH是正方形.
∵點E、F、G、H分別是AB、AD′、C′D′、BC′的中點,
∴EF=GH= BD′,GF=EH= AC′,EF∥BD′,EH∥AM,
∴∠AEF=∠ABM,∠BEH=∠BAM,
∴∠AEF+∠BEH=90°,
∴∠FEH=90°
∵AC′=BD′,
∴EF=FG=GH=HE,
∴四邊形EFGH是正方形
(3)
解:①四邊形EFGH是菱形.
∵PA=PB,
∴∠PAB=∠PBA.
∵CD∥AB,
∴∠PCD=∠PAB,∠PBA=∠PDC,
∴∠PCD=∠PDC,
∴PC=PD.
∵將△PCD繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△PC′D′,
∴∠APB=∠C′PD′,PC′=PC,PD′=PD.
∴∠APB﹣∠C′PB=∠C′PD′﹣∠C′PB,PC′=PD′.
∴∠APC′=∠BPD′.
在△AC′P和△BD′P中,
,
∴△AC′P≌△BD′P(SAS),
∴AC′=BD′.
∵點E、F、G、H分別是AB、AD′、C′D′、BC′的中點,
∴EF=GH= BD′,GF=EH= AC′,
∵AC′=BD′,
∴EF=FG=GH=HE,
∴四邊形EFGH是菱形;
②四邊形EFGH是矩形.
如圖3,
延長AC′交BD′于點M,
∵將△PCD繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△PC′D′,
∴∠APB=∠C′PD′,PC′=PC,PD′=PD.
∴∠APB﹣∠C′PB=∠C′PD′﹣∠C′PB,.
∴∠APC′=∠BPD′.
∵CD∥AB,
∴ ,
∴ .
∴△AC′P∽△BD′P,
∴∠PAC′=∠PBD′.
∵∠APB=90°,
∴∠PAC′+∠BAC′+∠ABP=90°,
∴∠BAC′+∠ABP+∠PBD′=90°,
∴∠MAB+∠ABM=90°.
∵點E、F、G、H分別是AB、AD′、C′D′、BC′的中點,
∴EF=GH= BD′,GF=EH= AC′,EF∥BD′,EH∥AM,
∴四邊形EFGH是平行四邊形.∠AEF=∠ABM,∠BEH=∠BAM,
∴∠AEF+∠BEH=90°,
∴∠FEH=90°,
∴平行四邊形EFGH是矩形.
【解析】(1)延長AC′交BD′于點M,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出△AC′P≌△BD′P就可以得出AC′=BD′,∠PAC′=∠PBD′,由∠PAC′+∠BAC′+∠ABP=90°,就可以得出∠BAC′+∠ABP+∠PBD′=90°,即∠MAB+∠ABM=90°,就有∠AMB=90°,得出AC′⊥BD′;(2)根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)就可以得出EF=GH= BD′,GF=EH= AC′,由AC′=BD′就可以得出EF=FG=GH=HE,由平行線的性質(zhì)就可以得出∠AEF=∠ABM,∠BEH=∠BAM,就可以得出∠FEH=90°,進而得出四邊形EFGH是正方形;(3)①由條件可以得出△AC′P≌△BD′P,就可以得出AC′=BD′,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)就可以得出EF=GH= BD′,GF=EH= AC′,由AC′=BD′就可以得出EF=FG=GH=HE,就有四邊形EFGH是菱形; ②延長AC′交BD′于點M,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出△AC′P∽△BD′P,就有∠PAC′=∠PBD′,就有∠MAB+∠ABM=90°,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)就可以得出EF=GH= BD′,GF=EH= AC′,就可以得出四邊形EFGH是矩形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有正方形ABCD和一個以O為直角頂點的三角板,移動三角板,使三角板的兩直角邊所在直線分別與直線BC,CD交于點M,N.
(1)如圖1,若點O與點A重合,則OM與ON的數(shù)量關系是__________________;
(2)如圖2,若點O在正方形的中心(即兩對角線的交點),則(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請說明理由;
(3)如圖3,若點O在正方形的內(nèi)部(含邊界),當OM=ON時,請?zhí)骄奎cO在移動過程中可形成什么圖形?
(4)如圖4是點O在正方形外部的一種情況.當OM=ON時,請你就“點O的位置在各種情況下(含外部)移動所形成的圖形”提出一個正確的結(jié)論.(不必說理)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖△ABC中,AB為⊙O的直徑,BC切⊙O于點B,AC交⊙O與點F,點E在AC上,且∠EBC= ∠BAC,BE交⊙O于點D.
(1)求證:AB=AE;
(2)若AB=10,cos∠EBC= ,求線段BE和BC的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC內(nèi)一點,且PA=3,PB=1,PC= CD=2,CD⊥CP,求∠BPC的度數(shù)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,A(a,0),B(0,b),a,b滿足=0,C為AB的中點,P是線段AB上一動點,D是x軸正半軸上一點,且PO=PD,DE⊥AB于E.
(1)求∠OAB的度數(shù)
(2)當點P運動時,PE的長是否變化?若變化,請說明理由;若不變,請求PE的長
(3)若∠OPD=45度,求點D的坐標
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知分式A=.
(1) 化簡這個分式;
(2) 當a>2時,把分式A化簡結(jié)果的分子與分母同時加上3后得到分式B,問:分式B的值較原來分式A的值是變大了還是變小了?試說明理由.
(3) 若A的值是整數(shù),且a也為整數(shù),求出符合條件的所有a值的和.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,∠PAC=30°,在射線AC上順次截取AD=3cm,DB=10cm,以DB為直徑作⊙O交射線AP于E、F兩點,則線段EF的長是cm.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B、C重合).以AD為邊作正方形ADEF,連接CF.
(1)如圖1,當點D在線段BC上時,求證:①BD⊥CF.②CF=BC﹣CD.
(2)如圖2,當點D在線段BC的延長線上時,其它條件不變,請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系;
(3)如圖3,當點D在線段BC的反向延長線上時,且點A、F分別在直線BC的兩側(cè),其它條件不變:①請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系.②若連接正方形對角線AE、DF,交點為O,連接OC,探究△AOC的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1和2,四邊形ABCD是菱形,點P是對角線AC上一點,以點P為圓心,PB為半徑的弧,交BC的延長線于點F,連接PF,PD,PB.
(1)如圖1,點P是AC的中點,請寫出PF和PD的數(shù)量關系:;
(2)如圖2,點P不是AC的中點,
①求證:PF=PD.
②若∠ABC=40°,直接寫出∠DPF的度數(shù).
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