Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=AD，過點D作垂直于AB的直線與∠ACB的平分線相交于點E，求證：ED=CD．

Answer 1

考點：直角三角形斜邊上的中線,等腰三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：過點C作CF⊥AB于F，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC，然后求出點D是AB的中點，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BD=CD=AD=

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AB，然后求出∠ACF=30°，根據角平分線的定義求出∠ACE=∠BCE=45°，再求出∠ECF=∠ECD=15°，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠E=∠ECF=15°，從而得到∠F=∠ECD，最后根據等角對等邊證明即可．

解答：證明：過點C作CF⊥AB于F，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠B=60°，AB=2AC，
∵AC=AD，
∴AB=2AD，
∴D是AB的中點，
∴BD=CD=AD=

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AB，
∴∠BCD=∠B=30°，
∵CF⊥AB，
∴∠ACF=90°-∠A=30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=

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∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACE-∠ACF=15°，∠ECD=∠BCE-∠BCD=15°，
∴∠ECF=∠ECD，
∵DE⊥AB，
∴CF∥DE，
∴∠F=∠ECF=15°，
∴∠F=∠ECD，
∴ED=CD．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，等角對等邊的性質，求出度數相等得到相等的角是解題的關鍵．